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Teorema fondamentale del calcolo integrale

Sia

[math]f[/math]
una funzione reale continua in un intervallo
[math][a,b][/math]
chiuso e limitato.
Allora la funzione integrale
[math]F[/math]
, definita come segue, è derivabile nell’intervallo
[math][a,b][/math]
e risulta
[math]F’(x) = f(x)[/math]
per ogni valore
[math]x \in [a,b][/math]
.


[math]F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt[/math]

Dimostrazione
Si considera il rapporto incrementale della funzione integrale

[math]F[/math]
in base alla sua definizione, applicando la proprietà di linearità dell’integrale:


[math]\frac{F(x + h) – F(x)}{h} = \frac{1}{h} [\int_{a}^{x + h} f(t) dt - \int_{a}^{x} f(t) dt] =\\
=\frac{1}{h} [\int_{a}^{x} f(t) dt + \int_{x}^{x+h} f(t) dt - \int_{a}^{x} f(t) dt] = \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) dt[/math]

Stando al teorema del valore medio integrale, deve esistere nell’intervallo

[math][x, x+h][/math]
un punto
[math]x_h[/math]
, dipendente dal valore di
[math]h[/math]
, tale che:


[math]f(x_h) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) dt = \frac{F(x+h) – F(x)}{h}[/math]

E se

[math]h \rightarrow 0[/math]
,
[math]x_h \rightarrow x[/math]
, essendo
[math]x \le x_h \le x + h[/math]
.
Perciò, ricordando che la funzione
[math]f[/math]
è continua:


[math]\lim_{h \to 0} f(x_h) = f(x)[/math]

Si può concludere che:


[math]F’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) – F(x)}{h} = \lim_{h \to 0} f(x_h) = f(x)[/math]

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