Teorema di Bolzano o degli zeri

Enunciato del teorema di Bolzano o degli zeri

Sia

una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato

, e risulti

. Allora esisterà almeno un punto

interno all'intervallo

tale che sia

.

Osservazione 1: Dire che si ha

è equivalente a dire che deve verificarsi una delle due seguenti condizioni

Ci si può riassumere dicendo che la funzione assume due valori di segno opposto ai punti estremi del suo intervallo di definizione e continuità.

Osservazione 2: Affermare che

è interno all'intervallo chiuso e limitato

equivale a dire che

, ovvero che

ma è distinto sia da

, sia da

.

In altri termini, deve risultare

, dove le disuguaglianze sono da intendersi in senso stretto.

Osservazione 3: Proviamo a produrci una semplice immagine mentale di ci che afferma l'enunciato. Consideriamo nel piano cartesiano i punti

e

; grazie alla osservazione 1, sappiamo che uno di essi, diciamo

, si trova al di sotto dell'asse delle ascisse, mentre l'altro, nel nostro caso

, si trova nel semipiano delle

positive. Poiché la funzione

è per ipotesi continua nell'intervallo

, il suo grafico consisterà in una linea curva di estremi i punti

e

, da tracciarsi senza alzare la matita dal foglio. Quale che sia il percorso che sceglieremo per congiungere

e

, esso dovrà necessariamente tagliare l'asse delle

in almeno un determinato punto

, nel quale risulterà

. Tale punto

è appunto quello di cui il teorema degli zeri predica l'esistenza.

Dimostrazione del teorema di Bolzano o degli zeri

In virtù dellosservazione 1, l'ipotesi che risulti

può essere ricondotta a una delle eventualità presentate in

. Per fissare le idee, supponiamo quindi che valga la prima di esse, cioé

Nel caso dovesse invece presentarsi l'altra eventualità, la dimostrazione procederebbe in maniera del tutto analoga. Consideriamo l'insieme

di tutti i punti

dell'intervallo chiuso e limitato

per i quali risulti

, ovvero

Per via della

, risulta certamente

, e quindi

è non vuoto. Inoltre l'insieme

è tale da ammettere maggioranti, visto che se

certamente è pure

; dunque possiamo considerare l'estremo superiore

di

.

Dal momento che

, per il teorema della permanenza del segno esisterà

tale che per ogni

sarà

; ciò significa che

. Se adesso fosse

, per le propriet dellestremo superiore dovrebbe risultare che ogni intorno sinistro di

, per quanto piccolo, dovrebbe contenere punti di

, contro quanto appena visto. Ne risulta che

, e dunque

.

Ugualmente, poiché

per il teorema della permanenza del segno esisterà

tale che per ogni

sia

. Quindi esistono punti di

strettamente maggiori di

appartenenti a

, il che sarebbe impossibile se risultasse

. Possiamo dedurne

, il che implica

; assieme alla disequazione ottenuta precedentemente abbiamo allora

, cio

, come volevasi.

Vogliamo adesso far vedere che

, e concludere così la dimostrazione. Comunque scegliamo

possiamo considerare gli intorni sinistro e destro

e

, i quali conterranno punti in cui

definita e continua, visto che

è interno all'intervallo

. Per via delle proprietà dell'estremo superiore, l'intorno destro disgiunto da

, mentre quello sinistro ha con

intersezione non vuota: risulta perciò che

contiene sempre sia punti dove

sia punti tali che

.

Se fosse

o

, per il teorema di permanenza del segno dovrebbe esistere un intorno così piccolo di

tale che tutti i punti ad esso appartenenti abbiano lo stesso segno, positivo nel primo caso e negativo nel secondo. Siccome abbiamo fatto vedere che così non è, allora necessariamente

. Ciò conclude la dimostrazione.

Osservazione 4: Il teorema di Bolzano, che prende il nome dal matematico boemo Bernard Bolzano e non dalla città tirolese, è un teorema di esistenza: ciò significa che esso dimostra l'esistenza di un ente matematico con certe proprietà, ma non lo identifica con precisione. Nel nostro caso sappiamo che esiste

tale che

, ma non sappiamo dire esattamente dove

sia posizionato all'interno dell'intervallo. Altri metodi, come quello di bisezione o quello del punto unito, consentono di calcolare

arbitraria.

Esempi di applicazione del teorema di Bolzano o degli zeri

funzione continua in un intervallo chiuso e limitato.

Si consideri la funzione

nell'intervallo chiuso e limitato

, il cui grafico è rappresentato nell'immagine seguente. Si vuole verificare, tramite applicazione del teorema di Bolzano, che

si annulla in almeno un punto interno al suddetto intervallo.

Per prima cosa calcoliamo

e

, e controlliamo che

:

La

è inoltre certo definita e continua nell'intervallo dato, dal momento che la sua unica discontinuità, che di seconda specie, viene assunta nel punto

. Dunque il teorema di Bolzano è applicabile, e di conseguenza possiamo dedurre che esiste

tale che

; guardando il grafico ci accorgiamo anche che tale punto è unico, ma ciò non è una conseguenza del teorema di Bolzano.

Esempio 2: funzione discontinua.

L'ultimo esempio che analizzeremo riguarda la funzione

nell'intervallo

, come da figura:

Come vediamo dal grafico, non esiste alcun

appartenente all'intervallo

in cui la funzione valga 0, per cui ci aspettiamo che qualcuna delle ipotesi del teorema di Bolzano non sia verificata. Controlliamo in primo luogo la richiesta sui punti estremi:

Dunque questa ipotesi rispettata. Lo stesso non si può dire per di quella di continuità, poiché è facile vedere che i limiti destro e sinistro della

in esame nel punto

sono finiti e distinti:

Ciò significa che

ha una discontinuità di prima specie nel punto

, e quindi in particolare che non è continua nell'intervallo chiuso e limitato dato. Per questo motivo il teorema di Bolzano, come volevamo dimostrare, non è applicabile.

Osservazione 5: L'implicazione contenuta nel teorema di Bolzano funziona in una sola direzione. Ciò significa che, se le ipotesi del teorema sono verificate, allora certamente il punto c ricercato esiste, ma se invece le ipotesi non sono rispettate nulla si può concludere circa l'esistenza o la non esistenza di c. In particolare non siamo autorizzati a dedurre che in tal caso

non esista.