Teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi

Una delle proprietà più importanti che possiedono le funzioni continue è rappresentata dal Teorema degli zeri, il quale possiede anche una notevole importanza numerica, in quanto fornisce un risultato astratto che garantisce l’esistenza di soluzioni di un’equazione, algebrica o non, della forma f(x) = 0.

Teorema degli zeri

Sia f: [a, b] → R, con a, b ∈ R e a ≤ b, una funzione continua, tale per cui si abbia f(a)f(b) ≤ 0; allora esiste x ∈ [a, b] tale che f(x) = 0.

Dimostrazione. Si supponga di avere f(a) < 0 < f(b), gli altri casi sono del tutto analoghi; sia

E = {x ∈ [a, b]: f(x) ≤ 0}.

Intanto a ∈ E, per cui E non è vuoto. Sia x l’estremo superiore di E; si ha a ≤ x ≤ b. Sia x_n una successione in E convergente ad x; allora f(x_n) ≤ 0 per ogni n, per cui, per continuità, si ha anche f(x) ≤ 0.

Sia y_n una successione con y_n > x per ogni n: allora si ha f(y_n) > 0, dal momento che y_n ∉ E per ogni n, essendo x l’estremo superiore di E. Passando al limite si ha dunque f(x) ≥ 0, per cui f(x) = 0.

Osservazione

Il teorema degli zeri sotto certe condizioni garantisce l’esistenza di una soluzione dell’equazione f(x) = 0, ma non afferma nulla a proposito della sua unicità; del resto è facile fare esempi di funzioni per le quali non si ha unicità della soluzione: ogni funzione che sia identicamente nulla su un sottointervallo dell’intervallo [a, b] considerato verifica le ipotesi del Teorema degli zeri, ma non ammette un’unica intersezione con l’asse delle x.

Le ipotesi per la validità del Teorema degli zeri sono necessarie: ad esempio la funzione costante f(x) = 1 definita su un intervallo limitato [a, b] non verifica la condizione f(a)f(b) ≤ 0, ed invero non ha intersezioni con l’asse x.

Invece la funzione f: [-1, 1] → R definita come f(x) = −1 se x ∈ [−1, 0] e f(x) = 1 se x ∈ (0, 1], non è continua, ed invero non ha intersezioni con l’asse delle x.

Teorema dei valori intermedi

Sia f: I → R una funzione continua, con I intervallo; allora Im(f) è un intervallo.

Dimostrazione. Siano α e β rispettivamente l’estremo inferiore e l’estremo superiore di I, e sia y ∈ (α, β). Esistono allora a, b tali per cui y ∈ (f(a), f(b)). Supponendo a < b si consideri la funzione g: [a, b] → R data da g(x) = f(x) − y; allora g è continua e si ha g(a)g(b) < 0. Per il Teorema degli zeri