Sviluppo di derivate di ordine n di funzioni goniometriche con tecniche di analisi complessa

B

− 2 n

2 n 2 n

a =

cioè: 2 ( 2 1

)

0 n

2

Per h = n, ricaviamo:

2 n n B

2 ∑ + +

− −

2 n 2 u 2 n 2 u

[ s ( 2 n

, 2

u ) ( 2 1

)

a = +

n +

( 2 n )! 2 n 2

u

=

u 0

n B

∑ + +

+ − − −

2 n 2 u 2 n 2 u +

n s n u

2 ( 2 1

, 2 1

)( 2 1

) +

n u

2 2

=

u 1 +

   

− B

[( u 1

) / 2 ]

2 n 2 n 1

2 n u

( )

∑ ∑ ∑ +

− + +

    2 n 2 p

+ − − −

u 2 p 1 2 n 2 p

s 2 n 1

, u ( j 1

) ( 2 1

) ] =(2n-1)! (A.1.3.06)

   

− +

j 2 p 1

    2 n 2 p

= = =

j 2 u 0 p 1

Le relazioni (A.1.3.05) e (A.1.3.06) sono state verificate con un programma di matematica.

E’ straordinario verificare che un’espressione molto complessa, come quella di cui al 2° membro

della (A.1.3.06), risulta uguale a (2n-1)!

–Osserviamo x = ¼, nella (A.1.0.01), troviamo:

A.1.4 che ponendo,

−

2 n 1 n

u Cosh (

u / 4

)

∞ ∑

∫ π 2 n

du = , (A.1.4.01)

a h

Sinh (

u / 2

)

0 =

h 0

Sviluppando i calcoli, abbiamo:

−

2 n 1

u Cosh (

u / 4

)

∞ ∞ ∑

∫ ∫ − − − −

+

2 n 1 u / 4 u / 4 u / 2 uk

du = =

u e e e e du

( )

Sinh u

( / 2

)

0 0 ≥

k 0

7 1 1

∞ ∑

∑

∫ − − − − − +

+

uk 2 n 1 u / 4 3 u / 4

= = =

n ]

( 2 1

)! [

e u e e du

( ) 1 3

0 + +

≥= ≥ 2 n 2 n

k k 0 k k

( ) ( )

4 4

n

1 1

∑ ∑

π

− +

2 n 2 n

= = , (A.1.4.02)

n

( 2 1

)!

4 [ ] a h

+ +

2 n 2 n

k k

(

1 4 ) (

3 4 )

≥ =

h 0

k 0

da cui , tenendo presente la (A.1.2.01), ricaviamo:

π 2 n

1 1

∑ −

+ 2 n

( 2 1

) B

= (A.1.4.03)

[ ] 2 n

+ +

2 n 2 n 2

( 2 n )!

k k

(

1 4 ) (

3 4 )

≥

k 0

Inoltre, dalla (A.1.4.01) otteniamo:

− −

n n

2 1 2 1

( / 4

)

u Cosh u u ∞

∞ ∞ ∑

∫ ∫ ∫ − − −

2 n 1 u / 4 uk / 2

du du

= = =

u e e du

( / 2

) 2 ( / 4

)

Sinh u Sinh u 0

0 0 =

k 0

− n

n

( 2 1

)! 1

∑ ∑ ∑

π

−

2 n n

2

= = , da cui:

= n

4 ( 2 1

)! a h

+ 2 n

k

1 k

(

1 2 )

+

= = =

2 n h

k 0 k 0 0

( )

4 2 π 2 n

1

∑ −

2 n

( 2 1

) B

= (A.1.4.04)

2 n

+ 2 n 2

( 2 n )!

k

(

1 2 )

=

k 0

che è perfettamente identica alla (A.1.1.10).

Dal confronto tra la (A.1.4.04) e la (A.1.4.03), troviamo, com’era naturale, che:

1 1 1

∑ ∑ +

= (A.1.4.05)

[ ]

+ + +

2 n 2 n 2 n

k k k

(

1 2 ) (

1 4 ) (

3 4 )

= ≥

k 0 k 0

– fornito dalla (A.1.0.01), abbiamo:

A.1.5 Considerando il caso generale

−

2 n 1 n

u Cosh (

ux )

∞ ∑

∑

∫ π

− −

π

π π − −

2 n 2 h 2 n 2 n n k 2 n 1 2 ixk

du = = 2 ( 1

) ( 1

) k e ; (A.1.5.01)

a Tan x

[ ( )]

h

Sinh (

u / 2

)

0 = ≥

h 0 k 1

Dall’integrale del 1° membro della (A.1.5.01), ricaviamo:

−

2 n 1

u Cosh (

ux )

∞ ∞ ∑

∫ ∫ − − − −

+

2 n 1 ux ux u / 2 uk

du = =

u e e e e du

( )

Sinh (

u / 2

)

0 0 ≥

k 0 n

1 1 1

∑ ∑

π π

− + <

2 n 2 h

= = , ; (A.1.5.02)

n x

( 2 1

)! [ ] a Tan x

[ ( )]

h

1 1 2

− + + +

≥ =

2 n 2 n

k 0 h 0

x k x k

( ) ( )

2 2 8

π 2 n n

1 1 ∑

∑ π

+ 2 h

a [

Tan ( x )]

da cui: = ; (A.1.5.03)

[ ] h

−

1 1 ( 2 n 1

)!

− + + +

≥ =

2 n 2 n h 0

k 0 x k x k

( ) ( )

2 2

ricordiamo che a = (2n-1)! ;

n

dalla (1.5.02), per x = 0, ritroviamo la formula: B

1

∑

+ π π

− − 2 n

n

2 2 n 2 n 2 n

2 n 1 = = ; (A.1.5.04)

n a

2 ( 2 1

)! 2 ( 2 1

)

0

+ 2 n n

2

k

(

1 2 )

≥

k 0 π

−

2 n 2 n

( 2 1

)

1

∑ B

cioè: = (A.1.5.05)

2 n

+ 2 n 2

( 2 n )!

k

(

1 2 )

≥

k 0

identica alla (A.1.1.10).

Per x = ¼, ritroviamo la formula (A.1.4.03)).

Dall’ultimo membro della (A.1.5.01), ricaviamo: π

− h

( 2

i xk )

∑ ∑

∑ π −

π

− −

π − −

− − 2 n 2 n n k 2 n 1

2 n 2 n n k 2 n 1 2 ixk 2 ( 1

) ( 1

) k

2 ( 1

) ( 1

) k e = =

h

!

≥ ≥ ≥

k 1 k 1 h 0

π π

− −

h 2 h h

( 2 ix ) ( 2 x ) ( 1

)

∑ ∑ ∑ ∑

− + − +

π π

− − − −

2 n 2 n n k 2 n 1 h 2 n 2 n n k 2 n 1 2 h

2 ( 1

) ( 1

) k 2 ( 1

) ( 1

) k

= ;

= h

! ( 2 h )!

≥ ≥ ≥ ≥

h 0 k 1 h 0 k 1

∑ +

− k 2 n 2 h

ricordiamo che ( 1

) k = 0;

≥

k 1

tenendo presente la (A.1.1.05), troviamo: +

π −

− 2 n 2 h

2 h h ( 2 1

) B

( 2 x ) ( 1

)

∑

∑ π −

π

− −

π +

−

− − 2 n 2 n n 1

2 n 2 n n k 2 n 1 2 ixk 2 n 2 h

2 ( 1

)

2 ( 1

) ( 1

) k e = , e quindi:

+

( 2 h )! 2 n 2 h

≥ ≥

k 1 h 0 + −

π 2 n 2 h

2 h ( 2 1

) B

( 2 x )

1 1

∑ ∑ +

π

− + 2 n 2 h

2 n 2 n

= , (A.1.5.06)

2

n

( 2 1

)! [ ] +

1 1 ( 2 h )! 2 n 2 h

− + + +

≥ ≥

2 n 2 n

k 0 h 0

x k x k

( ) ( )

2 2

Dalla (A.1.5.06), ricaviamo: + −

π 2 n 2 h

2 n 2 h ( 2 1

) B

2 ( 2 x )

1 1

∑ ∑ +

π

+ 2 n 2 h

2 n

= =

[ ] − +

1 1 ( 2 n 1

)! ( 2 h )! 2 n 2 h

− + + +

≥ ≥

2 n 2 n

k 0 h 0

x k x k

( ) ( )

2 2

π 2 n n

∑ π 2 h

a [

Tan ( x )]

= (A.1.5.07)

h

−

( 2 n 1

)! =

h 0 9

che, per x = 0, fornisce la (A.1.5.04), e per x = ¼, fornisce: + −

π π 2 n 2 h

2 n 2 h ( 2 1

) B

( / 2 )

1 1

∑ ∑ +

+ 2 n 2 h

= =

[ ] +

+ + −

2 n 2 n 2 n ( 2 h )! 2 n 2 h

k k 2 ( 2 n 1

)!

(

1 4 ) (

3 4 ) ≥

≥

k 0 h 0

π 2 n −

2 n

( 2 1

) B

= (A.1.5.08)

2 n

2

( 2 n )! (2n) della funzione P(x) = Tan(x)

A.2.0- Derivata di ordine

Derivando la (A.0.0.04), (2n) volte, rispetto ad x, troviamo:

2 n ( )

u Sinh ux

∞ π π

∫ ( 2 n )

[

Tan

( x

)]

du = =

( / 2

)

Sinh u

0 π

n 2 ∑

∑ π

+ + −

π

π π − −

2 n 1 2 h 1 k 2 n 2 n 2 ixk

= = ( 1

) ( 2 i ) k e (A.2.0.01)

b [

Tan ( x )]

h i

= ≥

h 0 k 1

Non è difficile verificare la relazione n

∑

π π + +

( 2 n ) π π

2 n 1 2 h 1

[

Tan

( x

)] = ,

b [

Tan ( x )]

h

=

h 0

n

∑ +

( 2 n ) 2 h 1

e la relazione [

Tan ( x )] = b [

Tan ( x )]

h

=

h 0

b del polinomio rappresentato

A.2.1- Determinazione del coefficiente 0 n

∑ +

( 2 n ) 2 h 1

dallo sviluppo della funzione [

Tan ( x )] = b [

Tan ( x )]

h

=

h 0

Operando sulla (A.2.0.01), abbiamo:

2 n

u Sinh ux

( )

∞ π π

∫ 2 n

[

Tan

( x

)]

du = =

Sinh u

( / 2

)

0 +

π −

2 n 1 n

n ( 2 ) ( 1

) ∑

∑ π

−

+ +

π π − k 2 n 2 ixk

2 n 1 2 h 1 ( 1

) k e

= = (A.2.1.01)

b [

Tan ( x )]

h i

= ≥

h 0 k 1

π π

= =

Ponendo, nella (A.2.1.01), , da cui , otteniamo:

Tan ( x ) t x ArcTan

(t )

u

2 n

u Sinh

[ ArcTan (

t )] n

π

∞ ∑

∫ + +

π 2 n 1 2 h 1

du = (A.2.1.02)

b t

h

Sinh (

u / 2

)

0 =

h 0

Derivando la precedente (A.2.1.02), rispetto a (t), e ponendo dopo, t = 0, troviamo:

u

2 n

u Sinh

[ ArcTan (

t )] +

2 1

n

lim π u

1

∞ ∞

∫

∫ π 2 n+

1

du

D du = = , da cui:

b

π

→ 0

t

t 0 Sinh (

u / 2

)

Sinh (

u / 2

) 0

0 + +

+ 2 n 3

2 2 ( 2 n 1

)! 1

2 ( 2 n 1

)!

∞ ∑

∑

∑

∫ + − −

2 n 1 u / 2 uk

u e e du = = ;

π π

π +

+ 2 n 2

1 (

1 2 k )

0 +

+

≥ ≥ ≥

2 n 2

k 0 k 0 k 0

( k )

2 10

1

∑ − + ζ

= − +

( 2 n 2 )

applicando la (A.1.1.07), troviamo: , e quindi:

[

1 2 ] ( 2 n 2 )

+

+ 2 n 2

(

1 2 k )

≥

k 0

+ + +

2 n 3

2 ( 2 n 1

)! 2 ( 2 n 1

)!

− + +

ζ

π ζ

− + − +

2 n+

1 ( 2 n 2 ) 2 n 2

= [

1 2 ] ( 2 n 2

) = ;

b ( 2 1

) ( 2 n 2 )

π π

0 + +

π

2 n 1 2 n 2

2

ζ + =

( 2 n 2

) B , e pertanto:

ma: +

2 n 2

+

( 2 n 2

)!

+

2 n 1

2 + −

2 n 2

b = ( 2 1

) B (A.2.1.03)

+

0 2 n 2

+

n 1

La relazione (A.2.1.03) è stata verificata con un programma di matematica.

Riportiamo i primi valori di b per n variabile da 1 a 10.

0