Sul valore del limite di alcune particolari funzioni

SOMMARIO.

funzioni, utilizzando ripetutamente il primo ed il secondo teorema integrale di Cauchy.

In this paper we try to define the value of the limit of some particular functions,

ABSTRACT.

using repeatedly the First and the Second Integral Theorem of Cauchy

∫ iz

1.0. e dz

Consideriamo l’integrale , ed applichiamo il 1°

c

teorema integrale di Cauchy lungo una curva chiusa c,

costituita da una semicirconferenza, di raggio R, posta nel

semipiano y≥0, ed avente il centro coincidente con l’origine

degli assi cartesiani, dal tratto rettilineo (-R,R), nonché dalla

ε

semicirconferenza di raggio . Figura 1

Abbiamo, quindi: π

R 0

ϕ ϕ

ϕ ε ϕ

∫ ∫ ∫

i i

ϕ ε ϕ = −

+ + =

ix i Re i i e i i 1

e dx e Re id e e id 0 , dove

(1) π

− R 0 ε →

Il 3° integrale del primo membro della (1), tende a 0 per ;

0

il 2° integrale del primo membro della (1) è dato da:

π π π

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

∫ ∫ ∫

i + −

ϕ ϕ ϕ

= =

i Re i iR ( Cos iSin ) i iR cos R sin i

e Re id e Re id e Re id

(2) 0 0 0

ϕ π ϕ → ∞

≤ ≤ ≥

Per , e quindi, per R , l’ultimo integrale della (2) tende a zero.

0 , Sin 0

Pertanto:

lim ∞

∞

R ∫ ∫

∫ iz

iz e dz 2

Cosz

dz

= = = 0, cioè:

e dz

→ ∞ − − ∞

R 0

R ∞

∫ Cosz

dz

(3) = 0

0

1.1. Ora applichiamo il 1° teorema integrale di Cauchy allo stesso integrale

∫ iz

e dz lungo una curva chiusa c, costituita da un arco di circonferenza, di

c

raggio R, posto nel 1° quadrante, e dai due lati del settore circolare. Figura 2

Abbiamo, quindi: π / 2 0

R ϕ ϕ

∫ ∫ ∫

i −

ϕ

+ + =

Re

ix i i t

e dx e Re id e idt 0

(4) 0 0 R ε ε →

Il valore dell’integrale lungo l’arco della circonferenza di raggio , per , tende a zero.

0

→ ∞

Per R , il 2° integrale del primo membro della (4) tende a 0, mentre il 3° integrale del primo

membro della (4) vale –i; quindi, dalla (4) ricaviamo:

∞ ∞ ∞

∫ ∫ ∫

= + =

ix

e dx Cosxdx i Sinxdx i

(5) 0 0 0

Uguagliando le parti reali e quelle immaginarie, otteniamo:

1

∞

∫ =

Cosxdx 0

(5a) 0

∞

∫ =

Sinxdx 1

(5b) 0

(cfr.[3, pag.12]) −

iR

lim lim e 1

R

∫ = =

ix

e dx i , cioè:

Inoltre, dalla (5) ricaviamo: → ∞ → ∞

R R i

0

lim =

iR

(6) e 0

→ ∞

R

da cui: lim lim

= =

(6a) ,

CosR 0 SinR 0

→ ∞ → ∞

R R

Osserviamo che:

R R

∫ ∫

= = − −

Cosxdx SinR Sinxdx (

CosR 1

)

,

0 0 → ∞

Passando al limite per R , utilizzando le (5a) e (5b), ritroviamo le (6a).

∫ − iz

1.2. e dz

Ora, applichiamo il 1° teorema integrale di Cauchy all’integrale c

lungo la curva chiusa c, costituita dallo stesso arco di circonferenza, di raggio

R, posto nel quarto quadrante, e dai due lati del settore circolare.

Operando, abbiamo: −

0 0 R

ϕ Figura 3

ϕ

∫ ∫ ∫

i

− − ϕ

+ + =

Re

ix i i t

e dx e Re id e idt 0

(7) π

− / 2 0

R ε ε →

Il valore dell’integrale lungo l’arco della circonferenza di raggio , per , tende a zero.

0

− ∞

R R

∫ ∫ ∫

− −

= − − = −

t

t t

e idt e idt e idt i

, e, quindi: ;

Ora, 0 0 0

π π

0 / 2 / 2

ϕ ϕ

−

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

∫ ∫ ∫

i i

− − − − − −

ϕ ϕ ϕ

i Re i i Re i iR ( Cos iSin ) i

e Re id e Re id e Re id

= = ;

π

− / 2 0 0

lim π / 2

∫ ϕ ϕ ϕ

− − − ϕ =

iRCos RSin i

e Re id 0

→ ∞

R 0

Inoltre, abbiamo: − −

iR

lim e 1

0

0 ∫

∫ −

− =

= ix

ix ; ma e dx

e dx i

→ ∞

R i

R R → ∞

e quindi, passando al limite per R , ricaviamo:

lim −iR =

(8) e 0

→ ∞

R

1.3. Una conferma della (5a) la troviamo utilizzando la seguente applicazione.

− −

iz iz iz z iz iz

e dz e dz e e dz e dz e dz

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −

− iz

= - = - e dz

− − − − −

z

z z z z

− ∞ e 1 e 1 e 1 e 1 e 1

0 0 0 0 0

∞ ∞

∞

∫ ∫ ∫

− −

iz

e dz Coszdz i Si nzdz

Ora, =

0 0 0

Utilizzando le (5a) e (5b), abbiamo

iz

e dz 2 iSinzdz

∞ ∞

∫ ∫ +

= i

− −

z z

− ∞ e 1 e 1

0

da cui: 2

iz

1 e dz 1

Sinzdz

∞ ∞

∫

∫ −

(9) = −

−

z z

− ∞

2 i 2

e 1

e 1

0 iz

e

∫

Applicando il 2° teorema integrale di Cauchy all’integrale dz , lungo

−1

z

e

c

una curva chiusa c, come quella considerata al punto 1.1 (fig.1), troviamo:

ϕ ϕ ϕ

ε ϕ

i i

ε ϕ ϕ

ix i e i Re

i i

e dx e e id e Re id

π

∞ o

∫ ∫ ∫

+ =

+ ϕ ϕ

− ε i i

x π

− ∞ − −

e Re

e 1 0

e 1 e 1

−

lim z z

∑

π π

=

iz

k

(10) = 2 i e ; z 2 ik , k=1, 2, 3, …

k

→ −

z

z z e 1

≥

k 1

k → ∞

Il 3° integrale del primo membro della (10), per , tende a zero;

R

ε π

→ −

il 2° integrale del primo membro della (10), per , è uguale a ( ).

0 i

π

π −

2

Il 2° membro della (10) è uguale a 2 i /( e 1

) .

Pertanto, dalla (10) ricaviamo:

π

ix

e dx 2 i

∞

∫ π +

= ,

i π

− −

x 2

− ∞ e 1 1

e

che sostituita nella (9), fornisce:

1

Sinzdz

∞

∫ π π

− +

(11) = ( 1 )

Coth

−

z 2

1

e

0

Abbiamo ottenuto la (11) utilizzando le (5a) e (5b).

Ma la (11) è una formula nota (vedi [1, pag. 481]) e ciò dimostra che le (5a) e (5b) sono formule

vere ed utilizzabili. ∫ −

1

i

2.0. z dz

Consideriamo l’integrale , ed applichiamo il 1° teorema integrale di Cauchy lungo la

c

curva chiusa c, di cui al punto 1.1 (figura 1)

Operando, abbiamo: π π

R ϕ ϕ ϕ ϕ

∫ ∫ ∫

− − −

ϕ ε ε ϕ

+ − =

i 1 i i 1 i i i 1 i

x dx (Re ) Re id ( e ) e id 0

(12) ;

− R 0 0 ε

→ ∞ →

Per , il 2° integrale del primo membro della (12) è nullo, e per , anche il 3° integrale

0

R

del 1° membro della (12) è nullo.

ε

R R R

∫ ∫ ∫ π ∫

− − − − −

= + − − −

i 1 i 1 i 1 i 1

x dx x dx ( x ) ( dx ) (

1 e ) x dx

= ;

ε ε

− R R

Sostituendo nella (12), troviamo:

R

π ∫ π

− − − ε

− − − −

i 1 i i

(

1 e ) x dx = i (

1 e )( R )

ε

cioè:

R

∫ − ε

− −

i 1 i i

x dx = i ( R )

ε ε

→ ∞ →

Passando al limite per , ed , e ricordando che

0

R

lim lim − ε

ε =

i i , = 1/R, troviamo:

R

ε → → ∞

0 R lim

∞

∫ − −

− −

i 1 i i

x dx

(13) = ( )

i R R

→ ∞

R

0

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

− −

= = = = + =

i 1 t it it it

x dx ( x e ) e dt e dt e dt 2 Cost dt

Ora, ;

− ∞

0 0 0 0

utilizzando la (5a), dalla (13) abbiamo:

lim lim

−i −

− = − =

i i ln R i ln R

(14) , cioè:

( ) 0 ( ) 0

R R e e

→ ∞ → ∞

R R 3

Quindi lim =

(15) (ln ) 0

Sin R

→ ∞

R 1

∫ −

i 1

2.1. x dx

Consideriamo, ora, l’integrale ε

Operando, abbiamo: ε ε

−

i i ln 1 i ln i ln

x e e 1− e

1

∫ −

i 1 1

x dx = ;

= ( ) =

ε

ε i i i

applicando le (5a) e (5b), abbiamo:

lim ∞ ∞ ∞

1

1 ∫ ∫ ∫ ∫

∫ − − −

− − −

i 1 t it

i 1 x dx e dt Costdt i Si ntdt

= = (x = ) = = = .

e i

x dx

ε → ε

0 0 0 0 0

Pertanto lim lim lim lim

ε − −

ε ln ln

i i i R i

(16) = = = = 0

e e R

ε

ε → → → ∞ → ∞

0 0 R R

1

∫ − −

1

i

x dx

Analogamente, partendo dall’integrale , troviamo:

ε

lim lim lim lim

ε

− −

ε ln ln

i i i R i

= = = = 0

(17) e e R

ε

ε → → → ∞ → ∞

0 0 R R

da cui lim lim

= =

(18) ,

(ln ) 0 (ln ) 0

Cos R Sin R

→ ∞ → ∞

R R

−

1

i

z dz

∫

2.2. Consideriamo l’integrale , ed applichiamo il

+

1 z

c

2° teorema integrale di Cauchy alla curva chiusa c di figura

4. La funzione integranda presenta un polo nel punto z=-1.

Operando, abbiamo: Figura 4

ϕ ϕ

− − ϕ

1 1

i i i i

x dx (Re ) Re id

π

2

R

∫ ∫

+ ϕ

+ + i

ε 1 x 1 Re

0 ϕ ϕ

π π

− −