Stabilire l'ordine di infinitesimo, per
[math]x \rightarrow 0^{+}[/math]
, delle seguente funzione:
[math]f(x) = ((1 - \sin (\frac{x^2}{4}))^{2} - \cos(x)) \sin(x)[/math]
Gli sviluppi di Mac Laurin di seno e coseno sono, rispettivamente:
[math]\sin (x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \quad \quad \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)[/math]
Pertanto
[math]\sin (\frac{x^2}{4}) = \frac{x^2}{4} - \frac{1}{6} (\frac{x^2}{4})^3 + o(x^6) = \frac{x^2}{4} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x^6}{64} + o(x^6) = \frac{x^2}{4} - \frac{x^6}{384} + o(x^6)[/math]
Di conseguenza la funzione
[math]f(\cdot)[/math]
diventa
[math]f(x) = ((1 - \frac{x^2}{4} + \frac{x^6}{384} + o(x^6))^2 - 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}) (x + o(x))[/math]
Sviluppando il quadrato fino al grado
[math]4[/math]
, e tralasciando i termini di grado superiore, si ottiene
[math](1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{16} - 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + o(x^4)) (x + o(x)) = (\frac{x^4}{48} + o(x^4)) (x + o(x)) = \frac{x^5}{48} + o(x^5)[/math]
Pertanto, per
[math]x \rightarrow 0[/math]
, la funzione [math]f(x)[/math]
è un infinitesimo di ordine [math]5[/math]
.
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