Potenze e radici di numeri complessi

3 SVILUPPO DELLE POTENZE COMPLESSE

⊂

p

a

Ho escluso la banalità di però vorrei rammentarvi che e che quindi in questo caso si

,

parlerebbe di numeri complessi con parte immaginaria nulla. In seguito quando il risultato di

un’operazione tra numeri complessi darà come risultato un numero complesso con parte

immaginaria nulla lo chiamerò ‘numero reale’, ma solo per comodità.

a

3.1 Base reale p + qi

3.1.1 Se l’esponente è un numero complesso

si ha + =

p qi p iq a

( ) ( ln )

=

p qi

a a a e

a

►

da cui ponendo

θ q ln a

=

ρ = p

a

si ha il numero complesso

ρ θ

= i

z e

risultato dell’elevazione a potenza

+

p qi

( )

a i

3.1.2 Se l’esponente è il numero immaginario

si ha = = +

i i a

ln

a e cosln a i sin ln a

► z

3.2 Base complessa n

3.2.1 Se l’esponente è un numero intero

la cui dimostrazione è elementare per induzione:

si utilizza la formula di De Moivre

ρ θ θ ρ θ

= + = ≥

n n in 1

z (cos n i sin n ) e n

n

► ,

► Esempio

( )

5

= − + = −

5

z 2 i 2 128(1 i )

z

Trasformiamo in forma trigonometrica π π

   

2 2 3 3

( )

= − + = − + = +

z 2 i 2 8 i 2 2 cos i sin

 

  4 4

 

 

8 8  

π π

 

15 15 2 2 ( )

= + = − = −

5

z 128 2 cos i sin 128 2 i 128 1 i

 

 

4 4 2 2

    , e ciò accade ovviamente

Ma non sempre una tale elevazione a potenza è un numero complesso

π .

sempre quando l’argomento è multiplo di

► Esempio

( ) 4

= − + = −

4

z 2 i 2 64 7

π

3 π

4

z 3

z è e che quello di vale ; quindi il risultato

Si calcola facilmente che l’argomento di 4

dell’elevazione a potenza sarà un numero reale, negativo per la disparità del fattore moltiplicativo.

Terminiamo il calcolo per controllare:

( ) ( )

π π

= + = − + = −

4

z 64 cos3 i sin 3 64 1 0 64

p + qi

3.2.2 Se l’esponente è un numero complesso

si ha ρ

ρ θ θ

+ + +

= =

p qi p qi p qi

( ) ( ) ( )

ln

i i

z ( e ) [

e e ]

da cui sviluppando il secondo membro

ρ ρ ρ

θ θ θ

+ =

p qi p qi p qi

( )

ln ln ln

i i i

[

e e ] (

e ) (

e ) (

e ) (

e )

ρ θ θ

ρ −

= p qi ip q

( ln )

e e e

ed ordinando si ottiene

θ ρ θ

ρ

+ − +

=

p qi p q i q p

( ) [ ( ln )]

z e e

►

Ponendo ora

θ

ρ ρ −

p q

' e

=

θ ρ θ

= +

' q ln p

si ha il numero complesso

θ

ρ

= '

i

z ' ' e

risultato dell’elevazione a potenza

+

p qi

( )

z i

3.2.3 Se l’esponente è il numero immaginario

allora si ha θ θ

ρ ρ −

=

i i i

z ( e ) e

=

►

ovvero un numero reale.

i

3.3 Base immaginaria n

3.3.1 Se l’esponente è un numero intero

poichè

π

i

=

i e 2

si ha π

in

=

n

i e 2

► n

i

Il risultato di sarà un numero reale o immaginario puro a seconda della parità o disparità

dell’esponente.

2 3 4 5

i i i i i n

i ?

Come calcolare

-1 1 -1

-i i

i ( )

∈ = = = −

n n r

2 i G , i 4, i i , r n 4 q

1 -1

-i i -i

i 3 1 -1 1

i -i

i = = −

127 3

i i i

Esempio:

4 -1 1

i -i i

i 5 -1 1 -1

-i i

i 8

z= p + qi

3.3.2 Se l’esponente è un numero complesso

si ha +

p qi π π

π π

q i p

i )

(

  − −

pi q

+ =

p qi

( )

i e e e e

2 2 2 2

= =

 

►  

 

da cui ponendo

π q

−

ρ = e 2

π p

θ = 2

si ha il numero complesso

ρ θ

= i

z e

risultato dell’elevazione a potenza

π

i

=

i e 2 i

3.3.3 Se l’esponente è il numero immaginario

si ha i

π

i

 

=

i

i e 2

 

►  

 

da cui il numero reale

π

−

=

i

i e 2

3.4 Logaritmo di un numero complesso

Ponendo

( )

θ π

+

i 2 k

ρ

=

z e

si ha ( ) ( )

θ π

+

i 2 k

ρ ρ θ π

= + = + +

ln z ln ln e ln 2

k i

► k

Cosa succede nel piano Argand-Gauss al variare di ?

Il logaritmo di un numero complesso è una .

funzione polidroma di variabile complessa

z ha immagini infinite e coincidenti

E’ infatti evidente che θ

e descrive una circonferenza al variare di , z

mentre le immagini del logaritmo naturale di sono sempre

infinite ma distinte e giacciono tutte sulla ρ

=

a ln .■

retta parallela all’asse immaginario 9

4 RADICI COMPLESSE

4.1 Radici ennesime di un numero complesso 1 ∈

n

Possiamo applicare la formula di De Moivre anche a potenze con indice frazionario ,

,

n

ma in tal caso l’operazione è di estrazione di radice e il risultato dell’elevazione a tale potenza non

∈

n

sarà un singolo numero complesso ma numeri . Infatti se

σ ρ

ϑ θ

= = ≠

in i

e w e 0

n

è un numero complesso qualsiasi, segue che

1

σ ρ ϑ θ π

= = +

, n 2

k

n = − → = +

0,1,2,3,..., ,..., ,... 1 1

k p q n j k

Allora per θ π

+

 

2 k

i

1  

n

ω ρ  

=

☺ n  

► e

j n w

radici ennesime, uniche e distinte, di in .

saranno le

La dimostrazione è semplice: n

9 tali radici non possono essere di perchè

meno

( )

θ π

+

i 2 k

ω ρ σ ω

ϑ

= =

n n n

ei w w

= e quindi le sono proprio le radici ennesime di ;

e

j j

n

9 non possono essere per via del teorema di Ruffini valido anche in ;

più

9 sono tutte perchè se due di esse non lo fossero si avrebbe

distinte

θ π θ π

+ +

   

2 p 2 q

i i

1 1

   

n n

ω ρ ω ρ

   

= = =

n n

   

e e

p q π

2

dove i due argomenti non potrebbero differire che per multipli di .

m

Cioè esisterebbe un intero tale che

θ π θ π

+ +

2 p 2 q ( )

π − =

− = p q mn

2 m ovvero

n n ( )

−

p q n p q

,

il che è impossibile perchè non può essere multiplo di essendo distinti tra

−

n

0 1

loro e compresi tra e . 1

ρ

☺ n

E’ evidente dalla formula come le radici siano distribuite sulla circonferenza di raggio e

n lati, il che conferma come esse siano in

quindi stiano sui vertici di un poligono inscritto di

n

numero di e tutte distinte tra loro.

: sia il numero complesso

►Esempio

= +

2 1 3

z θ

☺

Per poter utilizzare la formula occorre prima trovare il valore di :

π

a 1

ρ θ θ

= + = = = =

2 2

a b 2, cos ,

ρ 2 3

☺ avremo le radici

Applicando ora la formula

   

i i

+ +

π π

3 i 6 2 3 i 6 2

i i 7

1 1

ω ρ ω ρ

= = + = = = − − =−

e 2 e 2

   

6 6

2 2

,

1 2

2 2 2 2 2 2

   

    10

: sia il numero complesso

►

Esempio

= −

3

z i

8

allora avremo π

3

ρ θ θ

= = − =

8, sin 1, 2

π π π

i 3 i 7 i

11

ω ω ω

= = = = − − = = −

e i e i e i

2 2 , 2 3 , 2 3

6 6 6

1 2 3

: siano i numeri complessi

► Esempio

z = =

z

4 4

i 1

e

p q

per tutti e due avremo come modulo π

ρ θ θ

= = =

1 0

mentre gli argomenti saranno rispettivamente ,

2

− −

=

z 4 i i

1, , 1,

1

Per si calcola facilmente che le radici sono

q

z ω

=

4 i basta calcolare una qualsiasi e moltiplicarla per le radici dell’unità per avere le

Per p pj = 0

k , abbiamo la conferma che

quattro radici cercate. Scegliendo la prima, quella per

π θ π

θ +

   

  2 k 2 k

i i

i    

  n n

n

     

⋅ =

e e e

     

per cui eseguendo i calcoli si avrà

π

i + −

2 2 2 2

ω = = + = ⋅

e i z 1

8

1 1

p p

2 2

=

k 1,2,3

allora per le altre saranno

− +

2 2 2 2

ω = ⋅ = −

z i i

+

p 2 p

1 2 2

+ −

2 2 2 2

ω = ⋅− = − −

z i

1

p 3 p

1 2 2

− +

2 2 2 2

ω = ⋅− = −

z i i

p 4 p

1 2 2 ω π

2

qualsiasi poichè il risultato è sempre multiplo di :

Ma avremmo potuto scegliere una radice pj

 

π

θ π θ π

+ +

2 k

   

2 k 4 k

 

i

i i

   

n

 

n n

   

⋅ =

e e e

     

4.2 Radici ennesime dell’unità

4.2.1 Unità reale ρ θ

= = =

☺ 1 1, 0

w

Secondo la formula se è si ha e le radici dell’equazione

− =

n 1 0

x

sono le radici ennesime dell’unità reale e sono date dalla formula ridotta

π

 

k