Potenze e radici di numeri complessi

Potenze e radici in C

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di Leonardo Calconi

Chi ha fretta e non vuole perdersi in letture noiose può limitarsi a dare un’occhiata a questa tabella:

C_Exp n p+qi i

n

a p ( iq ln a ) i ln a

a a e e

θ ρ θ

θ θ

ρ ρ ρ

− + −

p q [ i ( q ln p )]

n in

e e e e

z π π

π

in )

( − −

pi q

i e e

2 2

2

e

C_nRoots ReU_nRoots ImU_nRoots U_pRoots

π π π  

θ π +

   

+

  2k 4 k 1

2 k i i

1 i    

  ϕ = −

∏

( ) 1

n n

n  

2 n

n    

ρ = =

 

= z z

z n    

e e

 

e p

 

k k

k p | n

e chi non ha problemi con le rappresentazioni esponenziali può andare direttamente a pagina 7.

Non ho perso tempo a diluire la minestra con informazioni e dimostrazioni elementari sui numeri complessi mentre ne ho dedicato un po’ di più agli esempi.

Ho curato l’impaginazione in modo che ogni argomento sia contenuto in pagine intere e possiate stamparlo dall’inizio alla fine separatamente col titolo in testa.

Indice

• 1. Premesse ► pagg. 2-4
• 1.1. Sulla rappresentazione
• 1.2. Sulla formula di Eulero
• 1.3. Sulle identità fondamentali
• 1.4. Sul prodotto
• 2. Rotazioni nel piano Argand-Gauss ► pagg. 5-6
• 2.1. Applicazioni
• 2.2. Equazione della circonferenza
• 3. Sviluppo delle potenze complesse ► pagg. 7-9
• 3.1. Base reale
• 3.1.1. Esponente complesso
• 3.1.2. Esponente immaginario puro
• 3.2. Base complessa
• 3.2.1. Esponente intero
• 3.2.2. Esponente complesso
• 3.2.3. Esponente immaginario puro
• 3.3. Base immaginaria
• 3.3.1. Esponente intero
• 3.3.2. Esponente complesso
• 3.3.3. Esponente immaginario puro
• 3.4. Logaritmo di un numero complesso
• 4. Radici complesse ► pagg. 10-14
• 4.1. Radici ennesime
• 4.2. Radici ennesime dell’unità
• 4.2.1. Unità reale
• 4.2.2. Unità immaginaria
• 5. Equazione ciclotomica ► pagg. 15-20
• 5.1. Teorema fondamentale dell’algebra
• 5.2. Gruppi ciclici
• 5.3. Radici primitive dell’unità
• 5.4. Polinomi ciclotomici
• 5.5. Equazione ciclotomica 1

1. Premesse

1.1. Sulla rappresentazione

Per le operazioni di moltiplicazione ed elevazione a potenza complessa si utilizza più efficacemente della rappresentazione cartesiana

= +

z a bi

► = −

z a bi I numeri complessi possono essere rappresentati

− anche in termini di matrici emisimmetriche reali

a bi

− =

1

z  

−

a b

a b

+

2 2 + =  

a bi

la rappresentazione in coordinate polari  

b a

ρ θ θ

= +

z (cos i sin )

► θ θ

   

−

r 0 cos sin

ρ θ θ

= − θ

z (cos i sin ) i

ρ =   

e    

θ θ

r

0 sin cos

ρ θ θ

− −

= −

1 1

z i

(cos sin ) e il campo di

per via dell’isomorfismo tra

z si ha

dove per queste matrici. Ma questa rappresentazione è

ρ ρ θ ρ θ

= + = =

2 2

a b a cos , b sin poco utile per gli scopi di questo lavoro.

,

a b

θ θ

= =

cos , sin

+ +

2 2 2 2

a b a b

b b

θ θ

= = ≠

tan , arctan , a 0

a a

o, meglio ancora, quella esponenziale

θ

ρ i

=

z e

► θ

−

ρ i

=

z e θ

ρ

− − −

= i

1 1

z e

che produce espressioni più compatte e dove per la si ha

formula di Eulero

θ θ θ

= +

i

e cos i sin

► θ

i

e che traccia nel piano Argand-Gauss una circonferenza di raggio unitario al

con la funzione

θ ∈

variare di . 2

1.2. Sulla formula di Eulero

Tale formula discende dallo sviluppo in delle funzioni

serie di Taylor

θ

e θ

θ θ ∈

sin , cos , con

per le quali si ha

  θ θ θ

− k 3 5 7

( 1)

∞

∑

θ θ

+

= = − + − +

(2 1)

k

sin ...

 

+

 

k

(2 1)! 3! 5! 7!

= 0

k  

  θ θ θ

− k 2 4 6

( 1)

∞

∑

θ θ

= = − + − +

k

2

cos 1 ...

 

 

k

2 ! 2! 4! 6!

=

k 0  

θ θ θ θ

 

k 2 3 4

θ ∞

∑

e θ

= = + + + + +

1 ...

 

 

k ! 2! 3! 4!

=

k 0   θ iθ

Nell’ultima serie, sostituendo con si avrà

θ θ θ θ

2 3 4 5

(

i ) (

i ) (

i ) (

i )

θ θ

= + + + + + +

i

e 1 i ...

2! 3! 4! 5!

θ θ θ θ

2 3 4 5

i i

θ

= + − − + + −

i

1 ...

2! 3! 4! 5!

θ θ θ θ θ θ

   

2 4 6 3 5 7

θ

= − + − − + − + − +

i

1 ... ...

   

2! 4! 6! 3! 5! 7!

   

   

θ θ

= +

cos i sin

ovvero la formula, e poiché è

θ θ θ

− = −

i cos sin

e i

si avrà anche

θ θ θ θ

− −

+ −

i i i i

e e e e

θ θ

= =

cos sin

,

2 2

i 3

1.3. Sulle identità fondamentali

Dalla formula di Eulero discende l’omonima identità:

π + =

i

e 1 0

► θ π

= ∈

k / 2, k

e, più in generale per

Θ π/2 π π3/2 2π

iθ -1 1

i -i

e

Considerando numeri complessi di modulo unitario avremo le seguenti rotazioni ed equivalenze

π ∈

k , k

per :

1.4. Sul prodotto n z

Il prodotto di un numero reale per un numero complesso è uguale a

ρ θ

= i

nz n e

►

Il prodotto di due numeri complessi

ρ ρ

θ θ

= = '

i i

z e z ' ' e

,

è uguale a θ θ

ρρ +

= ( ')

i

zz ' ' e

► zz’ ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti.

e quindi

In particolare si ha

θ θ

ρρ ρ θ

+

= = =

( )

i 2 2 2

i

zz e z e

►

il che conduce agevolmente al punto 3.2.1.

Non sempre il prodotto di due numeri complessi è un numero complesso. Infatti

( )( ) ρ

= + − = =

zz a bi a bi a b

+

2 2 2

−

a bi

= + · =

zz a bi 1

−

1 a b

+

2 2

θ θ

ρρ

− − =

=

1 1 '

zz ' ' se

θ π

= ∈

k / 2, k

zz per è un numero reale o immaginario puro secondo quanto visto in 1.3. ■

e 4

2. Rotazioni nel piano Argand-Gauss

2.1. Applicazioni

E’ evidente che l’applicazione

ϕ →

:C C θ θ ρρ

+ =

= i ( ') '

zz ' re θ θ ∈

dove con il prodotto costante,

, , ' r e centro l’origine.

descrive una circonferenza di raggio

Notate come l’applicazione non sia biiettiva in quanto uno stesso numero complesso è

zz’

( ) π

θ θ 2

'

+

rappresentato da valori diversi di multipli di .

Conviene inoltre notare che, analogamente a quanto accade il campo reale, coppie diverse di numeri complessi danno lo stesso prodotto e quindi descrivono la stessa circonferenza:

► Esempio

π π

π

i i 2

i 3 π

= = = =

' ' i

z 9

e , z 2

e , q 6

e , q 3

e

6 3

2

π

i 5

= =

' '

zz 18

e qq

3

In base a queste osservazioni possiamo semplificare la faccenda e far vedere come una circonferenza sia descritta in fin dei conti da un solo numero complesso del quale si faccia variare

’ quello di ‘ ’).

l’argomento (parlando di rotazioni possiamo sostituire al termine ‘ argomento fase

Consideriamo infatti il caso particolare in cui uno dei due numeri complessi sia diverso dall’unità ma con modulo uguale ad uno e l’altro abbia fase iniziale uguale a zero; allora si ha

θ

ρ ρ

θ

= = i ( k )

i

z e z ' , zz ' e

= ∈

, con e l’applicazione è per

k

θ ρ =

= i ( k ) r

zz ' re ∈

k

con e θ ρρ

= =

i ( k )

qq ' re ' r ∈

k

con e

q con modulo qualunque e fase zero, per ottenere lo stesso risultato da

Se volete potete considerare

una prospettiva diversa. 5

Infine notiamo come il prodotto di un numero complesso per l’unità immaginaria produca le seguenti rotazioni: ( )

π

π θ

i +

i

θ θ

ρ ρ ρ

· = =

i i

e i e e e 2

2

( )

π

θ −

i

θ

ρ ρ

· − =

i

e i e 2

Con in tasca queste semplici considerazioni possiamo scoprire l’acqua calda ed affermare che per qualsiasi operazione con numeri complessi che dia risultati con modulo costante, tali risultati stanno tutti su una circonferenza di raggio il modulo.

2.2. Equazione della circonferenza

Partendo dalla definizione di modulo per la quale si ha

ρ = = +

2 2

z x y z dall’origine degli assi,

e che rappresenta la distanza di

arriviamo agevolmente alla distanza di due punti nel piano complesso

− = + − + = − + − = − + −

2 2

' '' ( ' ') ( '' '') ( ' '') ( '' '') ( '' '') ( '')

z z x iy x iy x x i y y x x y y

( )

,

x y

z r

ma allora se rappresenta le coordinate del centro e è il raggio

o 0 0

− =

z z r

► o

è l’equazione della circonferenza nel piano complesso.

Infatti si ha

+ − + =

( x iy ) ( x iy ) r

o o

− + − =

2 2 2

x x y y r

( ) ( )

o o