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Qui potete scaricare il capitolo relativo ai numeri complessi dei Complementi di Algebra della collana Matematica
- Dai numeri naturali ai numeri complessi
- Introduzione
- Richiami sugli insiemi numerici
- Numeri immaginari
- Numeri complessi
- Forma cartesiana dei numeri complessi
- Operazioni con i numeri complessi (forma cartesiana)
- Premessa
- Somma
- Prodotto
- Reciproco
- Rapporto
- Potenza
- Rappresentazione geometrica dei numeri complessi
- Piano di Argand-Gauss
- Forma trigonometrica dei numeri complessi
- Operazioni con i numeri complessi (forma trigonometrica)
- Prodotto
- Reciproco
- Rapporto
- Potenza
- Radici n-esime di un numero complesso
- Definizione e calcolo
- Rappresentazione geometrica delle radici di un numero complesso
- Radici dell’unità
- Forma esponenziale dei numeri complessi
- Formule di Eulero
- Giustificazione della formula di Eulero
- Operazioni con i numeri complessi (forma esponenziale)
- Tabella riassuntiva delle operazioni.
- Equazioni e disequazioni nel campo complesso
- Teorema fondamentale dell’Algebra
- Equazioni algebriche in C
- Funzioni nel campo complesso (cenni)
- Funzioni esponenziale e logaritmo in C
- Funzioni trigonometriche in C
- Applicazioni dei numeri complessi
- Applicazioni tecniche.
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U U
n n
= 1
2. è l’elemento neutro, poiché il suo prodotto con un qualsiasi elemento dà come risultato
w w w
0 − = =
1 8
3. ogni elemento ha un inverso, tale che moltiplicato per dà 1 (ad es. per )
w w n
w w 1 7
Il fatto che in ogni numero abbia esattamente radici porta ad una conseguenza importantissima,
n n-me
nota come Teorema fondamentale dell’Algebra, che enunceremo nel par. 9.
Dobbiamo a Gauss l’aver compreso l’equivalenza fra i seguenti problemi, risolubili nel piano complesso:
• la ricerca delle radici dell’unità
n-me
• la divisione della circonferenza in parti uguali
n
• la costruzione di un regolare
n-gono
• − =
la risoluzione dell’equazione 1 0
n
x
6 Forma esponenziale dei numeri complessi
6.1 Formule di Eulero
Grazie agli sviluppi di funzioni in serie, Eulero (1743) riuscì a dimostrare che:
ϑ ϑ
ϑ = +
cos sin
i
e i
Possiamo quindi rapresentare un numero complesso anche in forma esponenziale:
( ) ϑ
ρ ϑ ϑ ρ
= + = + =
cos sin i
z a i b i e
Algebrica Esponenziale
Trigonometrica
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3
Matematica C – Complementi di Algebra – 4. Numeri complessi 15
Osservazione ϑ π
=
In particolare, per otteniamo “la” formula di Eulero per antonomasia, che mette in relazione i
cinque numeri più importanti della Matematica: π + =
1 0
i
e
Esempio
Verifichiamo la formula di duplicazione per il seno:
( )( )
ϑ ϑ ϑ ϑ
− −
− +
ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ
i i i i
− − −
− − +
2 2 e e e e
i i i i i i
e e e e e e
ϑ ϑ ϑ
= = = ⋅ =
sin 2 2 2sin cos
2 2 2 2
i i i
6.2 Giustificazione della formula di Eulero
La formula di Eulero è una delle più belle formule della matematica, frutto della mente di uno dei più
geniali matematici di tutti i tempi. È una formula incredibilmente feconda di conseguenze, ma la sua
dimostrazione richiede di conoscere argomenti che verranno trattati molto più in là nel nostro percorso,
specificamente nel capitolo di Analisi dedicato alle Serie di funzioni (*****), al quale rimandiamo per
completezza.
Chi ama la matematica non potrà non stupirsi della genialità e della profondità di pensiero che tale
dimostrazione sottintende. Qui si ritiene però utile fornire almeno una giustificazione della formula, senza
entrare nei dettagli “tecnici”.
Il matematico scozzese Colin Maclaurin nel 1720, continuando il lavoro che l’inglese Brook Taylor aveva
sviluppato qualche anno prima (1715), dimostrò tra gli altri i seguenti sviluppi in serie (somme di infiniti
termini) di funzioni elementari: 2 3 4
x x x
= + + + + +…
1
x
e x 2! 3! 4!
2 4 6
x x x
= − + − +…
cos 1
x 2! 4! 6!
3 5 7
x x x
= − + − +…
sin x x 3! 5! 7!
Sostituendo nel primo sviluppo al posto di calcolando le potenza successive di e separando i
i x x, i
termini reali da quelli immaginari, otteniamo:
( ) ( )
( ) 2 3 4 2 3 4
i x i x i x x x x
( )
= + + + + + = + − + + + =
… …
1 1
i x
e i x i x i
2! 3! 4! 2! 3! 4!
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 4 6 3 5 7
x x x x x x
= − + − + + − + − + = +
… …
1 cos sin
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
i x x i x
2! 4! 6! 3! 5! 7!
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Esempio
π
i =
2
e i
6.3 Operazioni con i numeri complessi (forma esponenziale)
Le operazioni fra numeri complessi scritti in forma esponenziale sono facilmente ricavabili da quelle in
forma trigonometrica.
Abbiamo così la regola per il prodotto: ( )
ϑ ϑ
+
ϑ ϑ
ρ ρ ρ ρ
⋅ = i
i i 1 2
e e e
1 2
1 2 1 2
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Matematica C – Complementi di Algebra – 4. Numeri complessi 16
per il reciproco: 1 ϑ
−
= 1 i
e
ρ
ρ ϑ
i
e
per il rapporto: ϑ
ρ ρ
i
e 1 ( )
ϑ ϑ
−
= i
1 1 1 2
e
ϑ
ρ ρ
i
e 2
2 2
per la potenza: ( ) n
ϑ ϑ
ρ ρ
=
i n i n
e e
e per le radici n-me: ϑ π
+ 2 k
i
ϑ
ρ ρ
= = −
* …
0, , 1
i
n n
e e k n
n
Osservazione ∀ ∈
La regola per la potenza vale, in forma esponenziale, .
n
Poiché essa è equivalente alla regola di De Moivre (in forma trigonometrica), possiamo concludere che:
( )
ρ ϑ ϑ ρ ϑ
= + = ∀ ∈
cos sin
a a a i a
z a i a e a
6.4 Tabella riassuntiva delle operazioni
form Somma Prodotto
a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + + = + + + + ⋅ + = − + +
a i b c i d a c i b d a i b c i d ac bd i bc ad
Alg ( ) ( )
ρ ϑ ϑ ρ ϑ ϑ
+ ⋅ + =
cos sin cos sin
i i
1 1 1 2 2 2
Tri ( )
( ) ( )
ρ ρ ϑ ϑ ϑ ϑ
= + + +
cos sin
i
1 2 1 2 1 2
( )
ϑ ϑ
+
ϑ ϑ
ρ ρ ρ ρ
⋅ = i
i i 1 2
e e e
1 2
Esp 1 2 1 2
Reciproco Rapporto
− + + −
1 c id c d a i b ac bd bc ad
= = − = +
i i
Alg + + + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
c id c d c d c d c id c d c d
( )
ρ ϑ ϑ
+ ρ
cos sin
1 i ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ϑ ϑ ϑ ϑ
= − + −
ϑ ϑ 1 1 1
= − + − 1 cos sin
cos sin
1 i
i ( )
( )
Tri ρ ϑ ϑ ρ 1 2 1 2
ρ +
ρ ϑ ϑ
+ cos sin
cos sin i
i 2 2 2 2
ϑ
ρ ρ
1 i
e 1
ϑ ( )
−
= ϑ ϑ
−
1 i = i
1 1
e 1 2
e
Esp ρ
ρ ϑ ϑ
ρ ρ
i i
e e 2
2 2
Potenza Radici
( )
+ =
n potenza di binomio (Tartaglia)
a i b
Alg ϑ π ϑ π
+ +
( ) ( ) ⎛ ⎞
2 2
n
ρ ϑ ϑ ρ ϑ ϑ
⎡ + ⎤ = + k k
cos sin cos sin
n ρ
i n i n = + = −
⎣ ⎦ n * …
cos sin 0, , 1
n ⎜ ⎟
z i k n
Tri ⎝ ⎠
n n
De Moivre
( ) ϑ π
+ 2
n k
ϑ ϑ
ρ ρ
=
i n i n i
e e ρ
= = −
n *
Esp …
0, , 1
n n
z e k n
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Matematica C – Complementi di Algebra – 4. Numeri complessi 17
7 Equazioni e disequazioni nel campo complesso
7.1 Teorema fondamentale dell’Algebra
Abbiamo già incontrato (cfr ***) il Teorema fondamentale dell’Aritimetica, che sta alla base della
scomposizione in fattori primi:
ciascun numero naturale è fattorizzabile in modo univoco come prodotto di potenze di numeri primi
∈
L’esistenza di radici di conduce al Teorema fondamentale dell’Algebra, che possiamo
n n-me z
enunciare in diversi modi fra loro equivalenti:
( )
• ogni polinomio di grado ha esattamente zeri (radici), distinte o no
in P z n n
n ( )
• in ogni polinomio di grado si scompone univocamente in fattori lineari, distinti o no
P z n n
n ( ) = 0
• in ogni equazione algebrica di grado ha esattamente soluzioni, distinte o no
P z n n
n
Inoltre:
( ) ( )
α α
= ⇒ =
0 0
• P P
n n α
α ∈
ossia, se è soluzione dell’equazione, allora lo è anche la sua coniugata : le soluzioni complesse
vanno cioè sempre “a coppia”, mentre le soluzioni reali possono essere anche distinte (osserviamo che
α α α
∈ ⇒ = ).
Questo porta ad un semplice ragionamento:
( ) = ⇒
0
• esiste un’unica soluzione reale
P z
1 ( ) = ⇒
0
• le due soluzioni sono o entrambe reali o complesse e coniugate
P z
2 ( ) = ⇒
0
• esiste una soluzione reale, le altre due sono o entrambe reali o complesse e coniugate
P z
3 ( ) = ⇒
0
• possiamo avere le seguenti tipologie di soluzioni: 4 reali, 2 reali + 2 c.c. o 2+2 c.c.
P z
4
e così via. ( ) = 0
La conclusione è notevole: data l’equazione ,
P z
n
• se è dispari,
n esiste almeno una soluzione reale
o
• se è pari:
n α α
∈ ∈
è soluzione, esiste necessariamente un’altra soluzione
se
o 1 2
α
α ∈
se è soluzione, anche è soluzione
o
Osservazione
È ben noto come la somma di quadrati non sia scomponibile in . in invece è un prodotto notevole:
( )( )
+ = − +
2 2
a b a ib a ib
ossia è il prodotto (somma per differenza) tra due numeri complessi coniugati. Per inciso, corrisponde al
quadrato del loro modulo.
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Matematica C – Complementi di Algebra – 4. Numeri complessi 18
Osservazione
Alcune radici possono comparire più di una volta, ossia avere una >1.
molteplicità
Inoltre, le radici complesse coniugate in genere compaiono come fattore quadratico (somma di quadrati).
La somma dei gradi dei fattori in cui si scompone il polinomio è comunque sempre n.
( ) = + + + + + + +
2 3 4 5 6 7
108 108 144 112 63 31 9
Ad es. si scompone in
P x x x x x x x x
7 ( ) 2
( ) ( ) 3
= + +
2
3 2
P x x x
7
= − = ±
3
e ha come radici con molteplicità 3 (ossia contata 3 volte) e ciascuna con molteplicità 2.
2
x x i
7.2 Equazioni algebriche in
Per la risoluzione in di equazioni algebriche (ossia polinomiali) distinguiamo due casi:
1. equazioni a coefficienti reali ma con soluzioni complesse
2. equazioni a coefficienti complesse
- Risolvere un problema di matematica
- Riassumere un testo
- Tradurre una frase
- E molto altro ancora...
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