Funzioni - Programma del quinto anno

∞ k

∞ x

B ) FORMA DI INDECISIONE : NON SONO CONTINUE : L’IPERBOLE EQUILATERA Y = , L’IPERBOLE NON

QUANDO IL CALCOLO DEL LIMITE DI UNA FUNZIONE RAZIONALE FRATTA , PER X

∞ b

∞ x

EQUILATERA Y = AX + + C .

∞

TENDENTE A , PRESENTA LA F.I. SI PUÒ UTILIZZARE LA

SEGUENTE REGOLA PRATICA , PURCHÈ IL NUMERATORE E IL DENOMINATORE ASINTOTI

SIANO DUE POLINOMI NELLA VARIABILE X.

ALLORA :

∞ CONCETTO DI ASINTOTO

SE GRADO DI A(X) È MAGGIORE DEL GRADO DI B(X) ASINTOTO E' UNA PAROLA CHE DERIVA DAL GRECO: A PRIVATIVO CHE SIGNIFICA NO E

SYMPÌPTEIN CHE SIGNIFICA CONGIUNGERE CIOE' SIGNIFICA CHE NON TOCCA, IN

(

A x) PRATICA SI TRATTA DI UNA RETTA CHE SI AVVICINA ALLA FUNZIONE SENZA MAI

TOCCARLA, PER QUESTO SI DICE ANCHE CHE L'ASINTOTO E' LA TANGENTE ALL'INFINITO

DELLA FUNZIONE.

B( x) QUINDI SE NON SAPPIAMO COME SI COMPORTA UNA FUNZIONE ALL'INFINITO SAPPIAMO

PERO' COME ALL'INFINITO SI COMPORTA UNA RETTA E SE TROVIAMO L'EQUAZIONE

LIM = 0 SE GRADO DI A(X) È MINORE DEL DELLA RETTA CHE ACCOMPAGNA LA FUNZIONE ALL'INFINITO (ASINTOTO) POTREMO

GRADO DI B(X) TRACCIARE IL GRAFICO DELLA FUNZIONE CHE TENDE ALL'INFINITO CON BUONA

RAPPORTO TRA I COEFFICIENTI DI GRADO MASSIMO DI A(X) E DI B(X) , SE A(X) E APPROSSIMAZIONE.

B(X) ∞

X UGUAL GRADO

® UNA FUNZIONE PUO' TENDERE ALL'INFINITO AVVICINANDOSI AD UNA RETTA IN TRE

MODI DIVERSI COME PUOI VEDERE DALLE TRE FIGURE QUI SOTTO

0 ASINTOTO VERTICALE: QUANDO LA X SI AVVICINA AD UN VALORE FINITO

 LA FUNZIONE TENDE ALL'INFINITO AVVICINANDOSI AD UNA RETTA

VERTICALE

0 ASINTOTO ORIZZONTALE: QUANDO LA X TENDE ALL'INFINITO LA

 FUNZIONE SI AVVICINA AD UNA RETTA ORIZZONTALE

C) FORMA DI INDECISIONE : ASINTOTO OBLIQUO:QUANDO LA X TENDE ALL'INFINITO LA FUNZIONE



QUANDO IL CALCOLO DEL LIMITE DI UNA FUNZIONE RAZIONALE FRATTA , PER X TENDE ALL'INFINITO AVVICINANDOSI AD UNA RETTA OBLIQUA

DA NOTARE CHE L'ASINTOTO ORIZZONTALE ESCLUDE L'ASINTOTO OBLIQUO E

0 VICEVERSA PERCHE' AL CRESCERE DELLA X LA FUNZIONE PUO' ANDARE ALL'INFINITO IN

UN SOLO MODO

0 SI HA UN ASINTOTO VERTICALE QUANDO, ALL'AVVICINARSI DELLA X AD UN VALORE

FINITO, IL VALORE DELLA Y CRESCE ALL'INFINITO

TENDENTE A X , PRESENTA LA F.I. , PER RISOLVERE TALE F.I. , OCCORRE POICHE' IL VALORE INFINITO E' SOLO UNA CONVENZIONE NE DERIVA CHE LA FUNZIONE

0

SCOMPORRE I POLINOMI CHE STANNO AL NUMERATORE E AL DENOMINATORE E POI AVRA' VALORE INFINITO DOVE LA X NON E' DEFINITA, CIOE' PER VALORI NON

RICALCOLARE IL LIMITE. APPARTENENTI AL CAMPO DI ESISTENZA

QUINDI PER TROVARE GLI ASINTOTI VERTICALI DOVREMO TROVARE QUEI VALORI DELLA

X PER CUI LA FUNZIONE VALE INFINITO, CIOE' SUPPONENDO CHE NEL PUNTO X = C LA

FUNZIONI CRESCENTI E FUNZIONI DECRESCENTI FUNZIONE NON SIA DEFINITA DOVREMO CALCOLARE:

LIM F(X) =

X->C

DEF .1 SI DICE CHE LA FUNZIONE Y = F (X) DEFINITA IN UN CERTO INTERVALLO , È SE IL RISULTATO VALE ALLORA LA RETTA

CRESCENTE IN QUELL’INTERVALLO , SE PER OGNI COPPIA DI VALORI X E X , CON X <

1 2 1 X = C SARA' L'ASINTOTO VERTICALE

X , RISULTA PURE F(X ) < F(X ).

2 1 2 E' BENE AL FINE DI CALCOLARE ESATTAMENTE COME LA FUNZIONE SPARISCE

SE RISULTA F(X ) F(X ) LA FUNZIONE SI DICE CRESCENTE IN SENSO DEBOLE ,

£

1 2 ALL'INFINITO CALCOLARE SIA IL LIMITE DESTRO CHE IL LIMITE SINISTRO PER TROVARE IL

PERCHÉ ESISTONO COPPIE DI VALORI X E X PER LE QUALI LA FUNZIONE È COSTANTE ,

1 2 SEGNO DELL'INFINITO A DESTRA E A SINISTRA DELL'ASINTOTO

CIOÈ F(X ) = F(X ).

1 2 RICORDATI DEL TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO CHE TI PERMETTE DI

DEF .2 SI DICE CHE LA FUNZIONE Y = F (X) DEFINITA IN UN CERTO INTERVALLO , È ASSEGNARE ALL'INFINITO (ANCHE SE NON ESISTE) UN SEGNO POSITIVO O NEGATIVO

DECRESCENTE IN QUELL’INTERVALLO , SE PER OGNI COPPIA DI VALORI X E X , CON X

1 2 1

< X , RISULTA F(X ) > F(X )

2 1 2 I QUATTRO CASI POSSIBILI SONO RAPPRESENTATI QUI SOTTO:

ASINTOTO ORIZZONTALE

SE RISULTA F(X ) F(X ) LA FUNZIONE SI DICE DECRESCENTE IN SENSO DEBOLE ,

³

1 2 SI HA UN ASINTOTO ORIZZONTALE QUANDO, AL CRESCERE DELLA X LA Y SI AVVICINA

PERCHÉ ESISTONO COPPIE DI VALORI X E X PER LE QUALI LA FUNZIONE È COSTANTE ,

1 2 AD UN VALORE BEN DETERMINATO.

CIOÈ F(X ) = F(X ) .

1 2 IN PRATICA C'E' L'ASINTOTO SE

LIM F(X) = NUMERO

X->

E L'ASINTOTO SARA' LA RETTA ORIZZONTALE

Y = NUMERO

FUNZIONI CONCAVE E' INOLTRE POSSIBILE CALCOLARE SE RISPETTO ALL'ASINTOTO LA FUNZIONE SI TROVI

SOPRA O SOTTO SOSTITUENDO AL NUMERO DELL'ASINTOTO UN NUMERO PIU' PICCOLO

LA PARABOLA Y = 2X -4X +1 È UNA FUNZIONE CHE PRESENTA IN TUTTO L’INTERVALLO

2 O PIU' GRANDE E VEDENDO SE L'ORIZZONTALE RELATIVA TAGLIA O NO LA FUNZIONE,

MA IO PENSO CHE CIO' SIA INUTILE, IN QUANTO IN UNO STUDIO COMPLETO DI

−∞ )

;+∞ FUNZIONE SI HANNO PARECCHI ALTRI DATI DA CUI RICAVARE SE LA FUNZIONE SI

( UNA CONCAVITÀ VOLTA VERSO L’ALTO. AVVICINA ALL'ASINTOTO DA SOPRA O DA SOTTO

ASINTOTO OBLIQUO

SI HA UN ASINTOTO OBLIQUO QUANDO LA FUNZIONE, ANDANDO VERSO INFINITO SI

LA FUNZIONE LOGARITMICA Y = LOG X È UNA FUNZIONE CHE IN TUTTO IL SUO AVVICINA AD UNA RETTA OBLIQUA

DOMINIO PRESENTA UNA CONCAVITÀ VOLTA VERSO IL BASSO . C'E' DA DIRE SUBITO CHE L'ASINTOTO OBLIQUO NON ESISTE SEMPRE PERCHE' UNA

TUTTAVIA ESISTONO FUNZIONI CHE IN UN CERTO INTERVALLO CAMBIANO CONCAVITÀ IN FUNZIONE ANDANDO ALL'INFINITO POTREBBE AVVICINARSI ALL'ORIZZONTALE OPPURE

CORRISPONDENZA DI UN CERTO VALORE X . SI DICE CHE NEL PUNTO DI ASCISSA X LA CRESCERE AVVICINANDOSI AD UNA PARABOLA O AD UNA CUBICA..... QUESTO PERO'

1 1

FUNZIONE PRESENTA UN PUNTO DI FLESSO. ESULA DA QUESTO CORSO

DEF. 1 SI DICE PUNTO DI FLESSO , QUALSIASI PUNTO IN CORRISPONDENZA DEL QUALE VEDIAMO QUALI SONO LE CONDIZIONI PERCHE' UNA FUNZIONE AMMETTA ASINTOTO

LA CONCAVITÀ CAMBIA IL VERSO. OBLIQUO DELLA FORMA

Y = MX + Q

PRIMA DI TUTTO BISOGNA DIRE CHE LA FUNZIONE DEVE TENDERE ALL'INFINITO:

DEF. 2 SI DICE CHE LA FUNZIONE Y = F(X) È CONCAVA VERSO L’ALTO IN UN CERTO

INTERVALLO X ;X , SE LA CORDA CHE CONGIUNGE GLI ESTREMI DI TALE INTERVALLO LIM F(X) =

1 2 X->

GIACE SOPRA IL GRAFICO DELLA FUNZIONE . POI DEVONO ESISTERE M E Q, CIOE' DEVONO ESISTERE FINITI I DUE LIMITI

LIM F(X)/X = M

 X->

LIM (F(X) - MX) = Q



DEF. 3 SI DICE CHE LA FUNZIONE Y = F(X) È CONCAVA VERSO IL BASSO IN UN CERTO X->

NOTA SULLA DETERMINAZIONE DEGLI ASINTOTI ORIZZONTALI OD OBLIQUI

INTERVALLO X ;X , SE LA CORDA CHE CONGIUNGE GLI ESTREMI DI TALE INTERVALLO

1 2

GIACE SOTTO IL GRAFICO DELLA FUNZIONE . E' POSSIBILE, SEMPLICEMENTE OSSERVANDO LA FORMA DI UNA FUNZIONE, CAPIRE SE

LA FUNZIONE HA UN ASINTOTO ORIZZONTALE, UN ASINTOTO OBLIQUO OPPURE NON HA

ASINTOTI DI QUEL GENERE:

BASTA RICORDARE CHE PER I LIMITI NELLE FORME INDETERMINATE :

SE IL NUMERATORE HA LO STESSO ORDINE DI INFINITO DEL



FUNZIONI CONTINUE DENOMINATORE ALLORA IL LIMITE E' UGUALE AL RAPPORTO FRA I DUE

TERMINI DI GRADO PIU' ALTO. NEL SEGUENTE ESEMPIO L'ORDINE DI

INFINITO DEL NUMERATORE E DEL DENOMINATORE SONO ENTRAMBE

DEF. 1 UNA FUNZIONE Y = F(X) SI DICE CONTINUA IN UN INTERVALLO DI ESTREMI A ; B , UGUALI AD 1

SE È CONTINUA IN TUTTI I PUNTI DELL’INTERVALLO .GRAFICAMENTE SIGNIFICA CHE IL LIM (3X-2LOG X)/4X = 3/4

X->

GRAFICO CHE RAPPRESENTA LA FUNZIONE È UNA LINEA CONTINUA, CIOÈ SENZA SALTI . SE IL NUMERATORE HA ORDINE DI INFINITO INFERIORE AL

 DENOMINATORE ALLORA IL LIMITE VALE 0 ESEMPIO:

LIM (X +LOGX) / E = 0

3 X

ESEMPI: LA RETTA , LA PARABOLA , QUALSIASI FUNZIONE RAZIONALE INTERA , LA X->

ALLORA POSSIAMO DIRE CHE

FUNZIONE ESPONENZIALE Y = A X a. SE NELLA FUNZIONE L'ORDINE DEL NUMERATORE E' UGUALE A QUELLO

DEL DENOMINATORE AVREMO UN ASINTOTO ORIZZONTALE DEL TIPO

Y = NUMERO

b. SE NELLA FUNZIONE L'ORDINE DEL NUMERATORE E' INFERIORE A QUELLO RAPPRESENTATO LA FUNZIONE IN NERO, LA DERIVATA PRIMA IN ROSSO E

DEL DENOMINATORE AVREMO UN ASINTOTO ORIZZONTALE DEL TIPO LA DERIVATA SECONDA IN BLU.

Y = 0 E' MOLTO INTERESSANTE NOTARE CHE NEI PUNTI A E B DEL GRAFICO LE

c. SE NELLA FUNZIONE L'ORDINE DEL NUMERATORE E' SUPERIORE DI UNO A TANGENTI ALLA CURVA SONO ORIZZONTALI. IN QUESTI PUNTI QUINDI LA

QUELLO DEL DENOMINATORE AVREMO UN ASINTOTO OBLIQUO DEL TIPO DERIVATA PRIMA È NULLA. A SINISTRA DI A LA DERIVATA È POSITIVA

Y = MX + Q MENTRE A DESTRA È NEGATIVA. IN B AVVIENE IL CONTRARIO. IL PUNTO A

INFATTI POICHE' PER CALCOLARE M DOBBIAMO FARE IL LIMITE DI F(X)/X SI CHIAMA PUNTO DI MASSIMO RELATIVO ED IL PUNTO B SI CHIAMA

DOBBIAMO MOLTIPLICARE IL DENOMINATORE PER X CIOE' AGGIUNGERE PUNTO DI MINIMO RELATIVO. COME SI VEDE DALL'ESEMPIO LA DERIVATA È

UN GRADO AL DENOMINATORE ED IL LIMITE SARA' UN NUMERO SE UNO STRUMENTO FONDAMENTALE PER LO STUDIO DI UNA FUNZIONE,

NUMERATORE E DENOMINATORE ARRIVANO ALLO STESSO GRADO CIOÈ PER INDIVIDUARNE IL COMPORTAMENTO. DOVE CRESCE, DOVE

d. SE NELLA FUNZIONE L'ORDINE DEL NUMERATORE E' SUPERIORE DI DUE, DECRESCE E DOVE VI SONO MASSIMI E MINIMI RELATIVI.

TRE,.... A QUELLO DEL DENOMINATORE NON AVREMO UN ASINTOTO SE LA DERIVATA È POSITIVA, LA FUNZIONE È IVI CRESCENTE, SE LA

OBLIQUO, MA LA FUNZIONE ANDRA' ALL'INFINITO ACCOMPAGNANDO UNA DERIVATA È NEGATIVA, LA FUNZIONE È DECRESCENTE. SE LA DERIVATA È

PARABOLA, UNA CUBICA,.... NULLA, LÌ CI PUÒ ESSERE UN MASSIMO OD UN MINIMO RELATIVO.

INFATTI POICHE' PER CALCOLARE M DOBBIAMO FARE IL LIMITE DI F(X)/X IL CALCOLO DELLA DERIVATA DI UNA FUNZIONE DATA È FATTIBILE IN

DOBBIAMO MOLTIPLICARE IL DENOMINATORE PER X CIOE' AGGIUNGERE LINEA DI PRINCIPIO SEMPRE. INDICHIAMO QUI ALCUNE FORMULE

UN GRADO AL DENOMINATORE IL LIMITE SARA' INFINITO PERCHE' IL UTILIZZABILI A QUESTO SCOPO :

NUMERATORE SUPERA COMUNQUE DI GRADO IL DENOMINATORE FUNZIONE DERIVATA

Y = K (DOVE K È UN NUMERO QUALUNQUE) Y ' = 0

DERIVATE

IL CONCETTO DI LIMITE, SEBBENE UTILISSIMO PER SOSTITUIRE AD UN PUNTO UN Y = K X Y ' = K

INTERVALLO HA COMUNQUE DEI DIFETTI: INFATTI APPLICANDO IL CONCETTO DI Y = K X² Y ' = 2 K X

LIMITE AD UN PUNTO IO POSSO AVERE SOLAMENTE UNA VISIONE LOCALE DI UNA

FUNZIONE: E' COME SE VOLESSI STUDIARE UNA STRADA DI NOTTE Y = K X³ Y ' = 3 K X²

APPROFITTANDO DELLA LUCE DI QUALCHE LAMPIONE: POTRO' VEDERE IN QUEL

PUNTO E NELLE VICINANZE DI QUEL PUNTO MA SE VOGLIO SAPERE COSA ... ...

SUCCEDE UN PO' PIU' IN LA' DOVRO' AVERE UN ALTRO LAMPIONE.

A NOI SERVE QUALCOSA CHE CI PERMETTA DI VEDERE LA FUNZIONE NELLA SUA

INTEREZZA E QUEL QUALCOSA SARA' LA DERIVATA; NEL CASO DELLA FUNZIONE Y = X³ - 3X² +2X IL CALCOLO DELLA DERIVATA

e. PRIMA È IL SEGUENTE :

Y ' = 3X² - 6X + 2

MENTRE PER LA DERIVATA SECONDA : Y '' = 6X - 6

SI NOTI CHE LA DERIVATA DI UNA SOMMA DI TERMINI SI FA SOMMANDO LE

DERIVATE DI CIASCUN TERMINE. SI NOTI ANCHE CHE LA DERIVATA PRIMA DI Y =

F(X) SI PUÒ INDICARE SEMPLICEMENTE COL SIMBOLO Y ' MENTRE LA DERIVATA

SECONDA COL SIMBOLO Y ''.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI.

IN FISICA SI STUDIANO LE GRANDEZZE CHE SI MISURANO OSSERVANDO I

FENOMENI NATURALI PER RICAVARE DELLE LEGGI MATEMATICHE CHE NE

ESPRIMONO LA INTERDIPENDENZA. QUESTO, IN SINTESI, È LO SCOPO ED IL

METODO DELLA FISICA. SUPPONIAMO CHE UNA CERTA GRANDEZZA Y SIA

RAPPRESENTABILE DA UNA FUNZIONE AD UNA VARIABILE Y = F(X), CIOÈ CHE LA

GRANDEZZA Y VARI IN FUNZIONE DELLA GRANDEZZA X. SUPPONIAMO ANCHE

CHE QUESTA GRANDEZZA SIA TALE CHE LA SUA DERIVATA SIA UGUALE IN OGNI

PUNTO ALLA SOMMA FRA LA X E LA Y. IN SINTESI SI SUPPONGA CHE : Y ' = X +

Y.

QUESTA È UNA EQUAZIONE DIFFERENZIALE. UNA EQUAZIONE IN CUI L'INCOGNITA

NON È UN NUMERO MA UNA FUNZIONE. LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI SONO IL

CUORE DELLA FISICA. TUTTE LE LEGGI FISICHE NOTE SONO ESPRESSE IN TERMINI

DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI. RISOLVENDO QUESTE EQUAZIONI SI RICAVANO LE

GRANDEZZE FISICHE NEL LORO VARIARE IN FUNZIONE DI ALTRE GRANDEZZE

FISICHE.

LA SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI NON È SEMPRE POSSIBILE IN

TERMINI ANALITICI, CIOÈ ESATTAMENTE. IN MOLTI CASI SI DEVE ALLORA

RICORRERE A METODI DI APPROSSIMAZIONE NUMERICA REALIZZABILI AL

COMPUTER. NELL'ESEMPIO SOPRA PROPOSTO, SUPPONENDO CHE LA CURVA

PASSI PER 0,

SI NOTI CHE NELL'ORIGINE 0 IL VALORE DI X + Y È OVVIAMENTE 0 E QUINDI

ANCHE Y ' DEVE ESSERE 0. LA CURVA CERCATA È ALLORA TANGENTE ALL'ASSE

DELLE X IN 0.

SENZA ENTRARE NEI PARTICOLARI, ACCENNIAMO SEMPLICEMENTE CHE ABBIAMO

TROVATO LA SOLUZIONE DELL'EQUAZIONE DIFFERENZIALE USANDO UN

METODO DI APPROSSIMAZIONE NUMERICA MOLTO SEMPLICE BASATO SUL FATTO