Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie

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Note didattiche Fioravante Patrone

Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie

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Consideriamo il seguente problema.

Un serbatoio contiene 50 litri di un liquido L₁ e 50 litri di un liquido L₂.

Nel serbatoio viene immesso del liquido L₂ alla portata di 5 litri/min; allo stesso ritmo viene tolta la soluzione. Si chiede quanto liquido L₁ si troverà nel serbatoio dopo 1 ora.

Per giungere alla soluzione, la difficoltà maggiore sta nel fatto che la percentuale di liquido L₁ varia col tempo e per sapere quanto liquido L₁ è uscito dal serbatoio è necessario conoscere la percentuale di liquido presente ai vari istanti nel serbatoio.

L’idea che permette di risolvere questo problema consiste nel cercare di determinare il modo in cui la percentuale di liquido L₁ varia nel tempo.

Il punto di partenza sarà la seguente ovvia equazione: conservazione massa, conservazione volumi.

[Volume di liquido L₁ presente in un istante] = [Volume di liquido L₁ presente in un precedente istante] − [Volume di liquido L₁ uscito nell’intervallo tra i due istanti]

Il problema è rappresentato dalla presenza dell’ultimo termine, che non è conosciuto. Però, se usiamo questa equazione relativamente ad un intervallo di tempo «piuttosto piccolo», possiamo ragionevolmente assumere che la percentuale di liquido L₁ in tale intervallo non cambi.

Per arrivare a delle relazioni numeriche dobbiamo ancora scegliere delle unità di misura: per il tempo useremo i minuti e per i volumi i litri. Indicheremo quindi con φ₁ (rispettivamente φ₂) quanti litri di liquido L₁ (rispettivamente L₂) sono presenti nel serbatoio.

Anzi, poiché tali valori variano nel tempo, useremo le notazioni φ₁(t), φ₂(t): qui, t rappresenta quanti minuti sono trascorsi a partire da tempo «0», convenzionalmente (e naturalmente) scelto come l’istante in cui ha inizio il processo descritto.

Si avrà quindi, in un intervallo di tempo ∆t tra gli istanti t₀ e t₀ + ∆t, la seguente relazione, valida approssimativamente:

φ₁(t₀ + ∆t) litri = φ₁(t₀) litri − 5 litri/min · ∆t · [φ₁(t₀) litri / (φ₁(t₀) litri + φ₂(t₀) litri)]

Ribadiamo che qui si è supposto che in tutto l’intervallo da t₀ a t₀ + ∆t la percentuale di liquido L₁ fosse uguale alla percentuale di liquido L₁ presente all’istante t₀.

Idea fondamentale!

Scegliere delle unità di misura

Convenzionalmente

Approssimativamente

1 Il vero titolo è: Tutto quello che avreste dovuto sapere sulle equazioni differenziali ma nessuno ve l’ha insegnato. Ma è anche colpa vostra: potevate fare domande!

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Poiché φ₁(t₀) litri + φ₂(t₀) litri = 100 litri, si ha:

φ₁(t₀ + ∆t) litri = φ₁(t₀) litri − [∆t · φ₁(t₀) litri / 20]

Questo per quanto riguarda i volumi di liquido presenti nel serbatoio. Se ci riferiamo solo alle misure di tali volumi, otteniamo:

Solo numeri, finalmente!

φ₁(t₀ + ∆t) = φ₁(t₀) − [∆t · φ₁(t₀) / 20]

Vale a dire:

φ₁(t₀ + ∆t) − φ₁(t₀) / ∆t = −φ₁(t₀) / 20 (1)

Si noti che la quantità a primo membro è un rapporto incrementale.

Wow, il rapporto incrementale!

A questo punto si può fare la seguente fondamentale osservazione. La relazione (1) è, come più volte detto, solo approssimata: l’approssimazione, però, diventa sempre migliore quanto più piccolo diventa ∆t.

Matematicamente, questo equivale ad effettuare un passaggio al limite:

lim_∆t→0 [φ₁(t₀ + ∆t) − φ₁(t₀)] / ∆t = −φ₁(t₀) / 20

Vale a dire: se tale limite esiste finito, otteniamo la relazione «corretta», cioè non più approssimata:

φ′₁(t₀) = −φ₁(t₀) / 20 (2)

Wow, la derivata!

Che senso ha quel «se» sottolineato prima? Significa che la relazione (2) è adatta per descrivere l’evolversi del fenomeno purché siamo convinti a priori che l’andamento del fenomeno sia regolare: vale a dire che φ₁ non presenti discontinuità e neanche delle brusche variazioni, per es. «spigoli» o «cuspidi» nel grafico di φ₁.

La regolarità a priori non è uno scherzo!

Si noti che questa assunzione di regolarità a priori è stata fatta prima di arrivare a scrivere la relazione (1). In effetti, se abbiamo a disposizione la (1), da questa leggiamo immediatamente che il rapporto incrementale, il membro di sinistra di questa uguaglianza, è costante, visto che il membro di destra non dipende da ∆t, e quindi il suo limite ci sarà certamente!

Insomma, l’assunzione di regolarità a priori l’abbiamo fatta quando ci è venuta la brillante idea che su un intervallo «piccolo» potessimo assumere che la percentuale di liquido L₁ fosse approssimativamente costante.

Se guardiamo ancora più attentamente le assunzioni che abbiamo fatto, si capisce che abbiamo supposto di poter approssimare «bene» φ₁, su un piccolo intervallo, con una funzione lineare passante per (t₀, φ₁(t₀)). Detto altrimenti, abbiamo assunto che φ₁ sia differenziabile.

Scriviamo:

φ₁(t₀ + ∆t) = φ₁(t₀) − ∆t · φ₁(t₀) / 20 + E(t₀, ∆t)

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Se vogliamo che esista il limite del rapporto incrementale, dobbiamo supporre a priori che

lim_∆t→0 E(t₀, ∆t) / ∆t = 0

Il che vuol dire per l’appunto assumere che φ₁ sia differenziabile. Visto che φ₁ è una funzione di una variabile, la differenziabilità è equivalente alla derivabilità.

Ritorniamo al discorso principale. La relazione (2), naturalmente, è valida per tutti i t > 0, e pertanto:

φ′₁(t) = −φ₁(t) / 20, ∀t > 0 (3)