Integrazione secondo Riemann

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Integrazione secondo Riemann

Il calcolo integrale rappresenta l’altro grosso capitolo del calcolo infinitesimale; in particolare il calcolo integrale apparirà come l’inverso del calcolo delle derivate, grazie al Teorema fondamentale del calcolo integrale.

Integrazione secondo Riemann

Sia f: [a, b] → ℝ una funzione limitata, con a, b reali; si indica con S = {x₀, . . . , x_n} una suddivisione di [a, b], ovvero una sequenza di reali con a = x₀ < x₁ < · · · < x_n = b. Si definiscono allora le due seguenti quantità:

∑_j=1ⁿ m(x_j−1, x_j)(x_j − x_j−1)

∑_j=1ⁿ M(x_j−1, x_j)(x_j − x_j−1)

dove m(x_j−1, x_j) e M(x_j−1, x_j) sono rispettivamente l’estremo inferiore e l’estremo superiore di f nell’intervallo (x_j−1, x_j). I numeri reali ∑_j=1ⁿ m(x_j−1, x_j)(x_j − x_j−1) e ∑_j=1ⁿ M(x_j−1, x_j)(x_j − x_j−1) si dicono rispettivamente somma inferiore e somma superiore. Facendo variare la suddivisione S tra tutte le possibili si possono definire:

• I₀(f): l’integrale inferiore di f su [a, b] come l’estremo superiore di tutte le somme inferiori, al variare della suddivisione di [a, b];
• I₀₀(f): l’integrale superiore di f su [a, b] come l’estremo inferiore di tutte le somme superiori, al variare della suddivisione di [a, b].

Finalmente f si dice integrabile secondo Riemann se I₀(f) = I₀₀(f), nel qual caso si pone

∫_a^b f(x) dx = I₀(f) = I₀₀(f)

che risulta essere un numero reale, e che rappresenta l’area della regione di piano, con segno, sottesa dal grafico della funzione f sull’intervallo [a, b].

Lemma di integrabilità

Il risultato fondamentale che permette di stabilire, in astratto, classi abbastanza generali di funzioni integrabili secondo Riemann, è costituito dal seguente Lemma di integrabilità:

Lemma: Sia f: [a, b] → ℝ una funzione limitata, con a, b reali; allora f è integrabile secondo Riemann su [a, b] se e solo se per ogni ε > 0 esiste una suddivisione S di [a, b] tale per cui si abbia

∑_j=1ⁿ M(x_j−1, x_j)(x_j − x_j−1) − ∑_j=1ⁿ m(x_j−1, x_j)(x_j − x_j−1) < ε.

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