Calcolare
[math]int 1/(a^2-x^2) dx[/math]
Per un conosciuto prodotto notevole, si ha
[math]int 1/((a+x)(a-x)) dx [/math]
Con il principio di equivalenza fra polinomi, possiamo trovare due numeri [math]A,B[/math]
tali che
[math]1/((a+x)(a-x)) =A/(a+x) + B/(a-x) [/math]
da cui
[math]A=B=1/(2a)[/math]
quindi
[math]int 1/((a+x)(a-x)) dx =1/(2a) int 1/(a+x) dx + 1/(2a) int 1/(a-x) dx[/math]
Ora, risulta
[math]int 1/(a-x) dx=-1 \cdot int -1/(a-x) dx=-1 \cdot int 1/t dt=-lnt=-ln|a-x|+k[/math]
e
[math]int 1/(a+x) dx=ln|a+x|+k[/math]
Quindi il risultato, considerando che [math]ln(b/c)=lnb-lnc \quad\quad b,c>0[/math]
è
[math]1/(2a) \\log|(a+x)/(a-x)|+C[/math]
FINE
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