Integrali: int 1/(a^2-x^2) dx

Daniele Grassucci
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Calcolare int 1/(a^2-x^2) dx Per un conosciuto prodotto notevole, si ha int 1/((a+x)(a-x)) dx Con il principio di equivalenza fra polinomi, possiamo trovare due numeri A,B tali che...


Calcolare

[math]int 1/(a^2-x^2) dx[/math]

Per un conosciuto prodotto notevole, si ha

[math]int 1/((a+x)(a-x)) dx [/math]

Con il principio di equivalenza fra polinomi, possiamo trovare due numeri
[math]A,B[/math]
tali che

[math]1/((a+x)(a-x)) =A/(a+x) + B/(a-x) [/math]

da cui

[math]A=B=1/(2a)[/math]

quindi

[math]int 1/((a+x)(a-x)) dx =1/(2a) int 1/(a+x) dx + 1/(2a) int 1/(a-x) dx[/math]

Ora, risulta

[math]int 1/(a-x) dx=-1 \cdot int -1/(a-x) dx=-1 \cdot int 1/t dt=-lnt=-ln|a-x|+k[/math]

e

[math]int 1/(a+x) dx=ln|a+x|+k[/math]

Quindi il risultato, considerando che
[math]ln(b/c)=lnb-lnc \quad\quad b,c>0[/math]
è

[math]1/(2a) \\log|(a+x)/(a-x)|+C[/math]

FINE

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