Esplorando le Funzioni: Collegamenti Matematici tra Variabili

CENTIGRA

+50 x -10

- 20

Il grafico ottenuto consente a prima vista, senza alcun calcolo, di convertire in modo

approssimativo le temperature centigrade in quelle fahrenheit corrispondenti e viceversa.

La relazione matematica inversa che consente di calcolare i gradi centigradi conoscendo

quelli fahrenheit si ottiene dalla precedente isolando la variabile C:

F = 9/5 C + 32 quindi: F - 32 = 9/5 C

infine: 5/9 (F - 32) = C C = 5/9 (F - 32)

*

* 15

1 Carmine De Fusco -Venaria Reale- cadefu@libero.it

Rette perpendicolari

Riprendiamo le funzioni y = 2x, y = 2x + 1, y = 2x + 2, y = 2x - 2, che rappresentano

l'insieme di rette parallele già esaminate.

Se vogliamo che queste rette non siano più parallele, cosa bisogna fare? Basterà

cambiare i coefficienti angolari e fare in modo che siano tutti diversi tra loro. In questo

caso le rette non saranno più parallele ma incidenti, cioè avranno un punto in comune.

Ora noi non vogliamo che due rette qualsiasi siano solo incidenti, ma vogliamo ottenere

un particolare tipo di incidenza: la perpendicolarità.

Quando due rette sono perpendicolari? Ricordiamo che due rette sono perpendicolari

se hanno un punto in comune e se questo punto comune è il vertice di quattro

angoli retti.

Abbiamo già considerato due rette perpendicolari fra di loro anche se non abbiamo detto

che lo erano, qualcuno ricorda quali sono?

Riconsidera i grafici delle funzioni y = x e y = - x, quali osservazioni abbiamo fatto e quali

possiamo ancora fare? y +5

y = - x +4

+3

+2

+1

- 4 - 3 - 2 - 1 +1 +2 +3 +4

+5 +6 x - 1 90°

- 2

y=x -3

Osservazioni:

Poiché la retta y = x è bisettrice del I e III quadrante, in ognuno di essi forma due angoli di

45° ciascuno mentre la retta y = - x forma sia nel II sia nel IV quadrante due angoli di 45°.

Si nota facilmente che le due rette sono perpendicolari tra di loro, infatti hanno in comune

il punto del piano di coordinate (0,0) che è l'origine degli assi e formano quattro angoli retti

(ciascuno è dato dalla somma di metà quadrante con la metà del quadrante adiacente

(45° + 45°). Le bisettrici di ciascuno di questi angoli retti formati sono gli assi cartesiani

stessi.

E' come se avessimo fatto ruotare di 45° gli assi cartesiani intorno all'origine.

I coefficienti angolari delle funzioni che rappresentano queste due rette, sono opposti

(rispettivamente +1 e -1). 16

1 Carmine De Fusco -Venaria Reale- cadefu@libero.it

Rappresentiamo altre rette con coefficienti angolari opposti:

a) y = 3x e y = -3x y

y = - 3x +5 y = 3x

+4

+3

+2

+1

- 4 - 3 - 2 - 1 +1 +2 +3 +4

+5 +6 x - 1

- 2

-3

b) Prova tu con le funzioni: y = 1/5 x + 2 e y = -1/5 x + 1.

Abbiamo ottenuto coppie di rette perpendicolari tra loro? No, quindi affinché due rette

siano perpendicolari non basta che i coefficienti angolari siano opposti.

Proviamo allora a ragionare sui coefficienti delle rette precedenti: +1 e -1. Questi due

numeri sono solo opposti o possono anche essere qualche altra cosa?

Non sono anche reciproci? (Sono reciproci 5 e 1/5, 1/3 e 3, 3/4 e 4/3, ecc. ma anche

1 e 1/1) Quindi 1 è il reciproco di se stesso.

Rappresentiamo adesso funzioni con il coefficiente angolare opposto e anche reciproco

(cioè opposto del reciproco):

c) y = 3x e y = -1/3 x

d) y = 2/5 x e y = -5/2 x

Abbiamo ottenuto rette perpendicolari tra loro? Allora per ottenere due rette

perpendicolari nell'origine degli assi occorre che il coefficiente angolare delle loro

funzioni sia l'uno l'opposto del reciproco di quello dell'altra.

In generale sono perpendicolari nell'origine degli assi le rette y = mx e y = -1/m x. 17

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Funzioni del tipo Y = K / X

Consideriamo le grandezze "numero di operai" e "tempo impiegato per eseguire un certo

lavoro" e costruiamo la relativa tabella.

Osserviamo che fra l'insieme dei x = n. operai y = tempo

valori della x e l'insieme dei valori

della y esiste una corrispondenza 1 30 gg

biunivoca (uno a uno) tale che 2 15 "

raddoppiando o triplicando il valore 3 10 "

della x, quello della y diventa 5 6 "

rispettivamente 1/2, 1/3. In questo 10 3 "

caso si dice che le grandezze x .... ....

(numero di operai) e y (tempo .... ....

impiegato) sono inversamente

proporzionali.

E' importante notare che il prodotto di un valore dell'insieme x per il corrispondente

30 = 2 15 = 3 10 = ................).

valore dell'insieme y è costante (1 * * *

In generale tra due grandezze o tra due insiemi esiste una proporzionalità inversa quando

esiste una corrispondenza biunivoca e se il prodotto di un qualsiasi elemento del 1°

insieme per il corrispondente elemento dell'altro insieme è costante. Il valore costante del

prodotto di due elementi corrispondenti si chiama coefficiente di proporzionalità inversa

( nell'esempio considerato tale coefficiente è 30 , per cui abbiamo x•y = 30 e ricaviamo la

funzione y = 30 / x ).

Quindi la formula generale della legge di proporzionalità inversa è rappresentata

dalla funzione y = K / x cioè x•y = K dove K è il coefficiente di proporzionalità

inversa.

Altri esempi di grandezze inversamente proporzionali:

1) Velocità di un'auto e tempo impiegato per percorrere un certo tragitto;

2) Portata di un rubinetto e tempo impiegato per riempire una data vasca;

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

Attenzione! Per rappresentare al computer funzioni che esprimono la legge di

proporzionalità inversa (y = k/x) non usare funzioni con valori elevati di k (superiori a 5 o 6)

altrimenti il grafico non è visibile oppure è poco visibile sul monitor.

Rappresentiamo le funzioni:

a) y = 1 / x b) y = 2 / x

Prova tu con:

c) y = 3 / x d) y = 1 / (2x) e) y = 1 / (3x) f) y = 1 / (4x) 18

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y = 1/x y

+5 y = 2/x

+4

+3

+2

+1

y = 1/x - 4 - 3 - 2 - 1 +1 +2 +3 +4

+5 +6 x

y = 2/x - 1

- 2

Per ogni funzione si ottengono delle coppie di curve, ciascuna chiamata iperbole

equilatera e che ha la massima distanza dagli assi in prossimità dell'origine (0,0),

invece a mano a mano che ci si allontana dall'origine la curva si avvicina sempre più agli

assi.

Osservazioni:

Per k > 1, le curve sono più distanti dagli assi rispetto alla funzione y = 1/x (dove k=1) e

sono esterne rispetto a tale funzione.

Per k < 1 e tendente allo zero (1/4, 1/5, 1/10, ...............) le curve si avvicinano sempre più

agli assi e sono interne rispetto a quella rappresentata dalla funzione y=1/x.

Esercizio: traccia i grafici delle funzioni y = -1/x, y = -2/x, y = -1/(2x) e fai le tue

osservazioni.

[R. Se k > 0 (cioè positivo) i due rami di iperbole si trovano nel I e nel III quadrante.

Se k < 0 (negativo) i due rami di iperbole si trovano nel II e nel IV quadrante].

y +5

+4

+3

+2

+1

- 4 - 3 - 2 - 1 +1 +2 +3 +4

+5 +6 x - 1 19

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Funzione quadratica

Prendiamo ora in esame l'insieme dei quadrati. Sappiamo tutti che la relazione di

2

uguaglianza A = l rappresenta la formula per il calcolo dell'area del quadrato.

Possiamo dire che l'area è funzione del lato perché ad ogni valore del lato corrisponde

uno ed un solo valore dell'area. Indicando con y l'area e con x il lato avremo che A = l2

2

diventa y = x .

Costruiamo una tabella per il lato e l'area corrispondente:

l (cm) x 0 1 2 3 4 5 - 1 - 2 - 3

2

A(cm ) y 0 1 4 9 16 25 1 4 9

Punti A B C D E F G H I

Al crescere del lato aumenta anche l'area ma non si tratta di proporzionalità diretta perché

l'area (y) aumenta più rapidamente del lato (x).

Individuiamo sul piano cartesiano i punti ottenuti con la tabella e tracciamo il grafico della

funzione usando poi il computer per il controllo.

2 definisce una curva chiamata parabola.

La funzione y = x y +5

2

y = x +4

+3

+2

+1

- 4 - 3 - 2 - 1 +1 +2 +3 +4

+5 +6 x - 1

- 2

La parabola è una curva molto comune:

a) Un pallone lanciato in aria descrive una parabola;

b) Un proiettile sparato da un cannone descrive una parabola;

c) La traiettoria di un missile lanciato in aria per colpire una regione lontana è una

parabola;

d) Molti ponti hanno una forma di parabola;

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

20

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L'equazione generale della parabola però è del tipo y = ax2+bx+c. Quella che

2 , è una parabola particolare perché,

abbiamo considerato, che ha equazione y = x

mancando sia il termine noto c sia il termine bx (entrambi uguali a zero), ha il vertice

nell'origine degli assi.

Quindi il valore del termine noto c, quando manca anche il termine bx, ci dice in quale

punto dell'asse delle ordinate la parabola ha il vertice. Per verificarlo, proviamo a

rappresentare le funzioni

2 2 2

y = x + 2, y = x + 1, y = x - 1.

y +5

2

y = x + 2 +4

2 + 1

y = x +3

2

y = x - 1 +2

+1

- 4 - 3 - 2 - 1 +1 +2 +3 +4

+5 +6 x - 1

- 2

Rappresentiamo ora le funzioni complete:

2 2 2

y = x + 2x + 1, y = x + x + 1, y = x - x + 1.

y 2

+5 y = x

- x + 1 +4

2

y = x +2x + 1 +3

2

y = x + x + 1 +2

+1

- 4 - 3 - 2 - 1 +1 +2 +3 +4

+5 +6 x - 1

-2 21

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Se compare anche il termine in x, il termine noto (c) non ci indica più il vertice della

parabola ma ci dice solo dove questa incontra l'asse delle ordinate (in questi tre esempi

nel punto +1). 2 : a questo proposito

Altre considerazioni importanti riguardano il coefficiente "a" di x

2 2

rappresentiamo le funzioni y = - x + 1 e y = -