Funzioni continue

Luca Lussardi: appunti di Analisi I

Funzioni continue

Il concetto di continuità per una funzione rappresenta una delle soglie minime per poter affermare che una data funzione è regolare. Una funzione continua, moralmente parlando, è una funzione il cui grafico si può tracciare senza interruzioni, ovvero senza che si producano salti. La definizione di continuità si appoggia in modo essenziale alla definizione di limite.

Funzioni continue

Una funzione f : E → R, dove E ⊆ R, si dice continua in x₀ ∈ E se si ha

lim f(x) = f(x₀).

x → x₀

Si dice poi che una funzione f : E → R è continua se tale è in ogni punto di E.

Conseguenza immediata della definizione è che una funzione f : E → R è sempre continua in ogni punto isolato per E; più in generale, per quanto osservato sui limiti di funzioni, si ha che se x₀ ∈ E ed f ammette limite per x → x₀, allora necessariamente f è continua in E. Con la nostra impostazione dunque la definizione di limite risulta sostanzialmente equivalente alla definizione di continuità.

Se x₀ ∈ E e la funzione f : E → R non è continua in x₀ si dice anche che f è discontinua in x₀; va da sé che non ha senso parlare di funzioni discontinue in punti che non appartengono all’insieme di definizione di f.

La continuità risulta essere una proprietà molto stabile per operazioni varie.

Proposizione: Siano f, g : E → R continue. Allora f + g, f − g, fg sono continue. Se g ≠ 0 allora f / g è continua; se f ≥ 0 allora √f è continua.

Inoltre la composizione di funzioni continue è ancora una funzione continua. Tali osservazioni hanno una conseguenza molto importante per quanto riguarda il calcolo dei limiti, che quindi diventa banale se risulta nota in partenza la continuità della funzione in gioco nel punto considerato.

Un importante risultato di continuità viene espresso da un Teorema che fornisce la continuità della funzione inversa, per altro il risultato che segue vale anche senza l’ipotesi che la funzione in partenza sia continua; per dimostrare ciò sono necessari però strumenti non ancora sviluppati.

Proposizione: Siano I = (a, b) ed f : I → R una funzione continua ed invertibile; allora la funzione f⁻¹ : Im(f) → R è continua.

Esempio: Sia data la funzione f : R → R definita come

f(x) = (x³ − 5x + 6) / (x + 4).

Allora dal momento che f risulta continua in x = 0 si ha

lim f(x) = 5 / 4.

x → 0

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