Formula per calcolare pi greco per mezzo della radice di 2

π 2004

α = √ (2 + √ (2 + √ (2 +…

il pigreco nella radice di due

Contenuti:

1.) Il problema

2.) La geometria

3.) La formula

4.) Analisi

5.) Bibliografia essenziale

6.) L’autore

Dott.Ing.Gianbattista Bergonzi

Studio Bergonzi

Corso Paolo Bernacchi 93

21049 Tradate, Varese

www.studiobergonzi.com

Il documento composto da 7 pagine viene emesso in data 9 agosto 2004.

Gianbattista Bergonzi “Il pigreco nella radice di due” pagina 1 di 7

1.) Il problema

La ricerca di algoritmi semplici ed efficienti per la determinazione della geometria delle eliche, ha fornito un

nuovo algoritmo per la definizione di pigreco.

Con elementari passaggi trigonometrici si dimostra la seguente formula per il calcolo di pigreco.

π = φ x √(2-√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+ …

2.) La geometria

Dato il settore circolare di raggio unitario, illustrato in figura 1, si assume la seguente nomenclatura:

r raggio del settore circolare;

c segmento congiungente i punti 1 e 2;

b segmento congiungente i punti 2 e 3;

L/n segmento congiungente i punti 3 e 4;

Essendo n uguale al numero dei lati del poligono inscritto nel cerchio di raggio r.

Figura 1

Gianbattista Bergonzi “Il pigreco nella radice di due” pagina 2 di 7

Assunto per il raggio r il valore unitario r = 1, sussistono le seguenti relazioni:

2

1.1. c = √ (1-a ) 2

1.2. b = 1 - √(1-a )

1.3. c + b = 1 2

1.4. L/n = √ (2 – 2 √ (1 - a ))

3.) La formula

Sia assume L pari alla lunghezza della circonferenza di raggio r = 1.

L = 2 x π

La relazione 1.4. diviene la seguente:

2

))

1.5. π = n/2 x √ (2 – 2 √ (1 - a

2

) = α

posto 2 √ (1 - a

si ottiene:

1.6. π = n/2 x √ (2 – α)

Assunto: β

1.7. n = 2

La relazione 1.6. diviene la seguente:

β /2 x √ (2 – α)

1.8. π = 2

Gianbattista Bergonzi “Il pigreco nella radice di due” pagina 3 di 7

4.) Analisi

Al variare del numero dei lati del poligono regolare inscritto nel cerchio di raggio unitario, si determinano i

valori del parametro α funzione della lunghezza del lato del poligono.

β = 3 corrisponde all’ottagono

β = 4 corrisponde al poligono di sedici lati

β = 5 corrisponde al poligono di trentadue lati

β = ∞ corrisponde al poligono di infiniti lati ovvero alla circonferenza

si ottengono dalla 1.8 le seguenti risultanze al variare di β

β = 3 α = √ 2 π = 3,

061

β = 4 α = √ (2+√ 2) π = 3,1 214

β = 5 α = √ (2+√ (2+√ 2)) π = 3,1 365

β = 6 α = √ (2+√ (2+√ (2+√ 2))) π = 3,14 033

β = 7 α = √ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ 2)))) π = 3,141 277

β = 8 α = √ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√( 2+√ 2))))) π = 3,1415 138

β = 9 α = √ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√( 2+√ (2+√ 2)))))) π = 3,1415 729

β = 10 α = √ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√( 2+√ (2+√ (2+√ 2))))))) π = 3,1415 877

β = 11 α = √ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√( 2+√ (2+√ (2+√ (2+√ 2)))))))) π = 3,14159 142

β = 12 α = √ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√( 2+√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ 2))))))))) π = 3,141592

345

β = ∞ α = 2 π = 3,141592654…

Gianbattista Bergonzi “Il pigreco nella radice di due” pagina 4 di 7

Conseguenza degli assunti è la seguente formulazione:

2 = 0

lim (π/n)

∞

n→

essendo:

2 = 2 - α

(π/n)

La relazione 1.8. può essere sintetizzata nella seguente espressione:

1.9. π = φ x √ (2 – α)

ovvero illustrata dalla seguente espressione:

1.10. π = φ x √(2-√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+ …

essendo:

β /2

φ = 2

α = √ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+ …

Gianbattista Bergonzi “Il pigreco nella radice di due” pagina 5 di 7