Equazioni differenziali e applicazioni: Studio delle soluzioni matematiche per problemi di elasticità e deformazione dei corpi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI OMOGENEE DEL

SECONDO ORDINE

Tali equazioni si presentano nella seguente forma :

′

′

′ + + =

a y b y c 0

Avendo a disposizione l'equazione caratteristica

associata, di conseguenza può essere calcolata la

soluzione generale y.

A proposito della soluzione, esistono però tre

differenti casi :

1° CASO) Se l'equazione caratteristica ammette due

λ λ

soluzioni reali e distinte allora la

, ,

1 2

soluzione generale è data da :

λ λ

= ⋅ + ⋅

x x

y C e C e

1 2

1 2 41

2° CASO) Se l'equazione caratteristica ammette due

λ λ

=

soluzioni coincidenti , la soluzione generale è

1 2

data da λ λ

= ⋅ + ⋅ ⋅

x x

y C e C x e

1 1

1 2

3° CASO) Se l'equazione caratteristica ammette due

soluzioni complesse coniugate immaginarie

α β

+ i

e

α β

− i

la soluzione generale è data da :

α α

β β

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

x x

y C e cos x C e sen x

1 2 42 21

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL

SECONDO ORDINE NON OMOGENEE ( 1° CASO )

Questo tipo di equazioni è riconducibile alla seguente

()

′

′

′ + + =

formula : a

y b

y cy d x

d(x) = termine forzante, polinomio di grado n

( )

≠

a) se il polinomio sarà dello stesso

c 0 y x

ordine di d(x);

b) se = ∧ ≠

c 0 b 0

il polinomio ( )

y x

sarà di grado n+1 rispetto al polinomio d(x). 43

3) se = ∧ =

c 0 b 0

il polinomio

sarà di grado n+2 rispetto al polinomio d(x). 44 22

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL

SECONDO ORDINE NON OMOGENEE ( 2° CASO )

( ) γ

′

′ ′

+ + = ⋅ x

a y b y cy P x e ( )

Per il calcolo della soluzione particolar

e y x

presentarsi tre differenti casi :

possono

γ

a) non è radice dell' equazione caratteris

tica,

cioè non coincide con le radici ( ) ( ) γ

= ⋅

λ λ x

y x A x e

e , la soluzione particolar

e è dato da :

1 2

N.B. A(x) è un polinomio dello stesso grado di P(x). 45

γ

b) se coincide con una delle due radici,

( )

la soluzione particolar

e y x

è data dalla seguente formula :

( ) ( ) γ

= ⋅ ⋅ x

y x A x x e

γ

c) se coincide con entrambe le radici

la soluzione particolar e è data

dalla seguente formula :

( ) ( ) γ

= ⋅ ⋅

2 x

y x A x x e

La soluzione generale si calcola come nel caso

precedente. 46 23

PRINCIPIO DI SOVRAPPONIBILITA'

( ) ( )

γ γ

′

′ ′

+ + = ⋅ + ⋅

x x

a y b y cy P x e Q x e

In questa circostanza devono essere calcolate due

soluzioni particolari :

( ) ( )

y x e y x

1 2

( ) ( )

γ

′

′ ′

+ + = ⋅ →

x

a y b y cy P x e y x

1 ( )

( ) α

′

′ ′

+ + = ⋅ →

x

a y b y cy Q x e y x

2

Ne consegue :

( ) ( ) ( )

= + +

y x soluzione equazione omogenea associata y x y x

1 2

47

APPLICAZIONI 48 24

APPLICAZIONI

IN

GEOMETRIA 49

APPLICAZIONI IN GEOMETRIA

PROBLEMA

"Determinare le curve per le quali il coefficiente

angolare delle rette tangenti a ciascun punto della curva

sia proporzionale all'ascissa del punto stesso."

( )

=

y f x

Se è la curva cercata, l'ascissa del

() x

′ =

punto di e è il coefficiente angolare

y f x

tang

della retta tangente alla curva in indicando con la

x, c

costante di proporzionalità si ha :

′ = →

y cx è la rappre sen tazione del

problema in forma analitica. 50 25

Per determinare le curve cercate :

dy = ⋅ = ⋅ ⋅

c x e int

egrando dy c x dx avremo :

dx ⋅ 2

c x

∫ ∫

= ⋅ = +

dy c x dx da cui : y C

1

2

che rappresenta la famiglia di parabole soddisfacenti al

problema. Infatti, derivando si ha :

′ = ⋅

y c x ;

cioè il coefficiente angolare della tangente alle curve

y'

nel punto di ascisse è proporzionale a stesso, come

x x

richiesto dal problema. 51

PROBLEMA

"Trovare una curva passante per il punto e tale che

(0;-2)

il coefficiente angolare della tangente in un punto qualsiasi

sia uguale all'ordinata aumentata di 3".

Il problema in matematica si traduce come :

( )

′ ′ = −

= +

y y y

3 0 2

′ − = °

y y 3 è un' equazione differenzi

ale del I ordine lineare

52 26

( ) = −

f x 1

( ) =

g x 3 [ ]

⎤

⎡

∫ ∫

− − −

∫ ∫

dx dx −

= ⋅ + =

= ⋅ ⋅ + x x

y e e 3 dx c e 3 e dx c

⎥⎦

⎢⎣

[ ]

−

= ⋅ − +

x x

e 3 e c ( )

= − + = − ⇒ − = − +

x 0

y 3 c e y 0 2 2 3 c e

=

c 1 = − x

y 3 e 53

o ancora : ( ) ( )

= + = + = +

x x

e y 3 l e l y 3 x l y 3

n n n 54 27

PROBLEMA

"Trovare la curva in cui il coefficiente angolare della tg

in un punto qualunque sia proporzionale al quadrato

dell'ordinata e passi per il punto (1;1)".

′

y

C'è il rapporto si ha :

;

2

y

[ ]

( )

⋅ − − + =

ky x 1 y 1 0

dy dy

′ = = =

2 2

y K y K y K dx

2

dx y 55

dy

∫ ∫

= K dx

2

y

∫ ∫

− =

2

y dy K dx

−

1

y = +

Kx C

− 1

1

1

− = + + = −

Kx C Kxy C y 1

1 1

y ( )

+ + = =

Kxy C y 1 0 imponiamo il passaggio y 1 1

1

+ = − = − −

K C 1 C K 1

1 1 56 28

e quindi la curva richiesta sarà :

( ) ( )

+ − − + = − − + =

Kxy K 1 y 1 0 cioè Ky x 1 y 1 0

57

APPLICAZIONI

IN

CHIMICA

E

FISICA 58 29

APPLICAZIONI IN CHIMICA E FISICA.

PROBLEMA

" All'istante t=0 sia No il numero di atomi di una

sostanza radioattiva; sia poi N(t) il numero di atomi

rimasti non disintegrati all'istante t. ( )

( ) dN t

La velocità di disintegrazione =

N t dt

è in ogni istante proporzionale al numero N(t) di atomi

( )

integri; cioè ( )

dN t = − ⋅ >

K N t , K 0

dt

con K che è la costante di decadimento.

(Il segno negativo è necessario in quanto N(t) è una

funzione decrescente nel tempo, la sua derivata deve

essere negativa)".

Determinare il numero N(t) di atomi non disintegrati 59

all'istante t." ( )

( ) ( )

dN t

= = −

N t K N t

dt

( ) ( )

dN t + = 0

K N t

dt

( )

dN t = − K dt

( )

N t ( )

dN t

∫ ∫

= − K dt

( )

N t ( ) = − ⋅ +

log N t K t c

e 60 30

( ) − +

=

ln N t Kt c

e e

( ) −

= ⋅

Kt c

N t e e

( ) −

= ⋅ Kt

N t c e per det e

r min are c :

( )

= = ⋅ =

0

t N c e c

per 0 0

( ) ( ) ( ) −

= ⇒ = ⋅ Kt

c N N t N e

0 0

che rappresenta i numeri di atomi non disintegrati. 61

PROBLEMA

" In un gas la velocità dell'aumento di volume è

direttamente proporzionale al volume stesso.

Trovare il volume V del gas in funzione del tempo t

sapendo che per t=0 è V=Vo ".

( )

dV = ⋅

K V t

dt ( )

dV t = ⋅

K dt

( )

V t 62 31

( )

dV t

∫ ∫

= ⋅

K dt

( )

V t ( ) = ⋅ +

log V t K t c

e ( ) +

=

log

V t Kt c

e e

( ) = ⋅ Kt

V t c e ( ) ( )

= = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⋅

0 Kt

per t 0 V 0 c e c V V t V e

0 0

63

PROBLEMA

" In un moto la velocità v direttamente proporzionale

all'accelerazione a = ⋅

v K a

determinare lo spazio percorso in funzione del tempo."

( ) = ⋅

s t v t ⋅

2

( ) d s

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

s t K a t K t

2

dt

( ) ds

= ⋅ = ⋅

s t v t t

dt 64 32

⋅ ⋅

2 2

ds d s d s ds

⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ =

t K t K t t 0

2 2

dt dt dt dt

rappresenta un'equazione differenziale del secondo

ordine omogenea.

La sua equazione caratteristica è :

λ λ

⋅ − =

2

Kt t 0

( )

λ λ − =

t K 1 0

λ λ

= =

t 0 0

2 1

λ λ

− = =

K 1 0 65

1 K

La soluzione generale sarà : t

1 ⋅

( ) t ⋅

= ⋅ + ⋅ = ⋅ +

t

0

K K

s t C e C e C e C

1 2 1 2

66 33

PROBLEMA

"Determinare il moto di un punto nel quale l'accelerazione è

funzione lineare del tempo".

Il problema si traduce in : ′

d y

′

′ = + ⇔ = +

y ax b ax b

dx

Poiché l'accelerazione è la derivata seconda dello spazio

rispetto al tempo l'equazione diventa :

y x 67

( ) ( )

∫ ∫

′ ′

= + = +

d

y ax b dx e int

egrando d

y ax b dx

a dy a

′ = + + = + +

2 2

da cui y x bx c

; x bx c

;

2 dx 2

⎛ ⎞

a

= + +

⎜ ⎟

2

dy x bx c dx

⎝ ⎠

2 ⎛ ⎞

a a b

∫ ∫

= + + ⇒ = + + +

⎜ ⎟

2 3 2

dy x bx c dx y x x cx C

1

⎝ ⎠

2 6 2

e rappresenta l'equazione del moto di un punto nel quale

l'accelerazione è funzione lineare. 68 34

PROBLEMA

" Al problema precedente si richiede lo spazio in funzione

del tempo sapendo che :

( ) =

⎧ v 0 v 0

⎪

= ⎨

t 0 ⎪ ( ) =

⎩ s 0 0 t

( ) ( )

= = ⋅ +

K

1

) s 0