Derivate di funzioni in una variabile: esercizio 3.2 con commento audio

In questo esercizio si chiede, per ciascuna delle seguenti funzioni, di dimostrare l'esistenza e la derivabilità della funzione inversa che viene denotata con G e calcolare la quantità a fianco indicata

A titolo di esempio vediamo il numero uno e data la funzione f di x uguale tre x più due più quattro x e si chiede quanto risulta tre fratto primi tre dove gira la funzione inversa. Nel caso esista di f la funzione data f x uguale tre x più due più quattro x è una somma di funzioni derivabili su tutto r, quindi una funzione derivabile in tutto r e f x fare tre derivate di tre x più zero due più quattro quattro x che hanno derivata di quattro x.

Osserviamo che questa derivata prima è strettamente maggiore di zero per ogni x reale. Ne segue che f una funzione strettamente monotona, in particolare strettamente crescente, e dunque è una funzione invertibile essendo strettamente monotona e peraltro se privo di x diverso da zero x appartenente. Quindi per il teorema della funzione inversa possiamo calcolare g privo di x o meglio c primo di y come uno fratto f primo di x, dove quella x è tale che f x y.

Siccome ci chiedono di calcolare il primo in tre, dobbiamo trovare quel valore. X tale per cui f x tre. Osservando la funzione sia che fx quella tre s solo se x zero. Ne segue che per il teorema della funzione inversa di primo di tre vale esattamente uno fratto primo del punto da cui proviene, ovvero zero. A conti fatti questo rapporto è un settimo da cui tre fra i primi tre.

Per quanto riguarda gli altri cinque quattro esercizi, discorso perfettamente analogo.