Derivate di funzioni in una variabile: esercizio 3.14 con commento audio

Discutiamo la derivabilità della funzione f disuguale

Tre P un modulo di arco tangente di x. Questa funzione è definita e continua su tutto r. Essendoci presenza di un valore assoluto, potrebbe non essere derivabile nei punti in cui l'argomento del modulo è zero, ovvero x uguale a zero. Quindi controlliamo la derivabilità in zero dal momento che altrove c'è per composizione di funzioni regolari.

Come al solito procediamo calcolando a destra e sinistra in quanto la funzione cambia di segno al passare dello zero. Il rapporto incrementale destro vale la tangente dh sua, il quale tende A1A0 più un rapporto incrementale sinistro vale meno una tangente di H su H, il quale tende a meno uno per x per H che tende a zero o meno.

Di conseguenza, essendo i due limiti distinti, la funzione data non è derivabile x uguale a zero.