Definizione di determinante e casi elementari

Definizioni

  Ad ogni matrice quadrata viene assegnata una quantità numerica, detta determinante, che si indica con uno qualsiasi dei due simboli , \(\left|A\right|\). Per tutta la durata di questa scheda supporremo che le matrici in esame siano quadrate. Definizione 1: Determinante di una matrice di ordine 1. Sia data una matrice quadrata di ordine 1, costituita cioè da un solo elemento. In questo caso il determinante di coincide con detto elemento, ovvero . Definizione 2: Minore complementare. Sia data una matrice quadrata di ordine , e sia un suo elemento. Si chiama minore complementare di il determinante della matrice quadrata di ordine che si ottiene da sopprimendo la -esima riga e la -esima colonna. Esempio 1: Si consideri la generica matrice di ordine 4 ed il suo elemento . Il minore complementare di è il determinante della matrice di ordine 3 ottenuta da tramite la soppressione degli elementi rossi \[ \begin{array}{ccc} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \color{red}a_{13} & a_{14} \\ \color{red}a_{21} & \color{red}a_{22} & \mathbf{\color{red}a_{23}} & \color{red}a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & \color{red}a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & \color{red}a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} & \rightarrow & B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{pmatrix} \end{array} \] Definizione 3: Complemento algebrico. Sia data una matrice quadrata di ordine , e sia un suo elemento. Si chiama complemento algebrico di e si indica col simbolo il minore complementare di moltiplicato per la quantità . Esempio 2: Nello stesso caso dell’esempio 1, possiamo dire che il complemento algebrico di è . Infatti in questo caso la quantità è dispari, e elevato a un numero dispari fa ancora . Osservazione 1: Se la quantità è pari, il complemento algebrico di coincide con il suo minore complementare; se invece è dispari, il complemento algebrico di è il suo minore complementare cambiato di segno. Definizione 4: Determinante di una matrice di ordine . Il determinante di una matrice quadrata di ordine è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna per i rispettivi complementi algebrici. Osservazione 2: Il determinante si definisce in maniera ricorsiva: ciò significa che si dà un modo diretto per calcolarlo valido per le matrici di ordine 1, mentre per la generica matrice di ordine il calcolo si può ricondurre a quello di determinanti di matrici di ordine via via più basso, fino a giungere al primo. Infatti il calcolo dei complementi algebrici degli elementi di una riga o una colonna di una matrice di ordine consiste nel calcolo di al più determinanti di matrici di ordine .

Determinanti di matrici 2x2

Metodo per le matrici di ordine 2. Consideriamo una generica matrice di ordine 2: \[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \] In virtù della definizione 4, che è l’unica applicabile in quanto l’ordine di è maggiore di 1, per calcolare dovremo scegliere in primo luogo una linea della matrice, ovvero una sua riga o una sua colonna. Tipicamente, onde semplificare i calcoli, si sceglie la linea con più zeri; nel nostro caso generico sceglieremo la prima riga. Avremo allora: \[ \det A = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} \] , essendo il complemento algebrico di , è pari a ; similmente, per avremo la formula . In effetti, le matrici e , quadrate di ordine 1, sono proprio quelle ottenute da sopprimendo le linee indicate dagli indici di e rispettivamente. In ultimo avremo: \[ \det A = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \] ricordando la definizione 1 per calcolare e . A quanto pare, il calcolo del determinante di una matrice quadrata qualsiasi di ordine 2 si riduce al prodotto degli elementi della diagonale principale diminuito del prodotto degli elementi della diagonale secondaria. Osservazione 3: Il risultato testé ottenuto sarebbe stato identico qualora, in luogo della prima, avessimo scelto la seconda riga o una qualsiasi delle colonne. Questo fatto, che si dimostra facilmente per le matrici di ordine 2, si può provare in generale adoperando le proprietà dei determinanti. Esempio 3: Si calcoli il determinante della matrice \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 2 \end{pmatrix} \] Grazie alla formula appena ottenuta, potremo scrivere direttamente \[ \det A = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 6 = 6 - 6 = 0 \] Se per esempio avessimo scelto di sviluppare tale determinante rispetto alla prima colonna avremmo invece dovuto scrivere \[ \det A = a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} = 3 \cdot 2 - 6 \cdot 1 = 0 \] ottenendo al fine lo stesso risultato, come da osservazione 3.