Relazioni e funzioni: E’ data la seguente relazione:     x ? y ?  x  ha la stessa mamma di  y    Dire se si tratta di una relazione di equivalenza; dire se la relazione è anche funzione ...

E data la seguente relazione:

ha la stessa mamma di

Dire se si tratta di una relazione di equivalenza; dire se la relazione anche funzione e, in tal caso, s essa iniettiva, suriettiva e biiettiva.

Svolgimento

Nel determinare le propriet che soddisfa la relazione, possiamo affermare che presente la propriet riflessiva, poich nellinsieme degli esseri umani un qualsiasi individuo ha la stessa mamma di se stesso.

Di conseguenza, escludiamo la propriet antiriflessiva.

Sar soddisfatta anche la propriet simmetrica, poich prendendo un elemento

in relazione con un elemento , possiamo affermare che anche in relazione con (se ha la stessa mamma di , ha la stessa mamma di ).

Di conseguenza, non possibile la propriet antisimmetrica.

La relazione gode della propriet transitiva, perch se

ha la stessa mamma di , e ha la stessa mamma di , allora anche avr la stessa mamma di .

Linsieme preso in esame gode quindi della relazione di equivalenza, poich sono soddisfatte le propriet riflessiva, transitiva e simmetrica.

Una relazione tra due insiemi di dice funzione se ogni elemento di un insieme in relazione con uno e un solo elemento dellaltro.

Per questo, la corrispondenza che ad un essere umano associa la propria madre una funzione.

Tuttavia, non esiste la funzione inversa, poich si avrebbe una relazione che associa ad ogni madre un figlio, ma pu capitare che una madre ne abbia pi di uno.

La funzione considerata suriettiva, poich ogni elemento dellinsieme di arrivo (la madre) unimmagine di almeno un elemento dellinsieme di partenza (lessere umano).

La funzione non iniettiva, poich possibile che pi esseri umani abbiano la stessa madre.

Di conseguenza, non biiettiva, poich suriettiva ma non iniettiva.