Indice
Concavità di una curva in un punto
Consideriamo una curva di equazione
nei punti interni di un intervallo
, e consideriamo un punto
interno a tale intervallo.
Si dice che la curva ha nel punto
di coordinate
concavità rivolta verso il semiasse positivo delle
se esiste un intorno del punto
per tutti i punti del quale (escluso il punto
) le ordinate dei punti sulla curva sono maggiori delle ordinate dei corrispondenti punti sulla tangente in
.
In riferimento alla figura precedente, considerando i punti
e
sulla curva, e i punti
e
corrispondenti della retta tangente in
alla curva, e le loro proiezioni
e
sull'asse
, abbiamo che ( HQ gt HT ).
In questo caso, possiamo anche dire che la curva ha concavità rivolta verso l'alto.
In maniera analoga, possiamo definire la concavità verso il basso di una funzione:
Si dice che la curva
ha nel punto
di coordinate
concavità rivolta verso il semiasse negativo delle
se esiste un intorno del punto
per tutti i punti del quale (escluso il punto
) le ordinate dei punti sulla curva sono minori delle ordinate dei corrispondenti punti sulla tangente in
.
In questo caso, invece, considerando i punti
e le loro proiezioni
e
sull'asse
, abbiamo che ( HQ lt HT ).
Vediamo, ora, il seguente teorema che mette in relazione la derivata seconda di una funzione con la concavità del suo grafico.
Teorema: Consideriamo la funzione di equazione
derivabile due volte nei punti interni all'intervallo
, e tale che la sua derivata seconda
sia continua in
; sia
un punto interno di
.
Allora, si ha che:
- se ( f''(x) gt 0 ), allora la curva di equazione [math] y = f(x) [/math]volge, nel punto di ascissa[math] c [/math], la concavità verso l'alto;
- se ( f''(x) lt 0 ), allora la curva di equazione [math] y = f(x) [/math]volge, nel punto di ascissa[math] c [/math], la concavità verso il basso.
Concavità di una curva in un intervallo
Se la funzione in questione volge la concavità verso l'alto o verso il basso in tutti i punti interni ad un intervallo
, possiamo dire che la curva volge la concavità verso l'alto o verso il basso in tutto
.
Definizione: Una funzione si dice concava verso l'alto in un intervallo
, se il suo grafico volge la concavità verso l'alto in
; la funzione si dice, invece, concava verso il basso in
se il suo grafico volge la concavità verso il basso in tutto
.
Dal teorema precedente, riguardante la concavità di una funzione in un punto, si deduce il seguente teorema:
Teorema: Consideriamo la funzione di equazione
derivabile due volte nei punti interni all'intervallo
, e tale che la sua derivata seconda
sia continua in
. Allora, si ha che:
- se f''(x) > 0, allora la funzione f(x) è, nell'intervallo I, concava verso l'alto;
- se f''(x)
Punti di flesso
Consideriamo una funzione
che ammette derivata seconda in un punto
, e tale derivata calcolata in
è nulla ( cioè,
), e che la derivata seconda abbia segni opposti a destra e a sinistra di
.
La funzione in questione, quindi, nei due intorni di
(destro e sinistro), volge concavità differenti: verso il basso da una parte, e verso l'altro dall'altra. Il punto
che ha queste proprietà viene definito punto di flesso.
Possiamo, quindi, dedurre che, per determinare un punto di flesso, dobbiamo studiare il segno della derivata seconda della funzione, e verificare che la derivata seconda assuma valori di segno opposto nell'intorno sinistro e destro del punto
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