Come calcolare il gradiente di una funzione in due variabili con esempio

In quest'appunto di matematica troverai le informazioni necessarie a scrivere il gradiente di una funzione avente due variabili. E' presente anche un esempio commentato sulla derivata dell'arcotangente.

Cosa si intende per gradiente di una funzione

Il gradiente di una funzione esprime come varia una grandezza scalare in una determinata direzione ed è utilizzato per rintracciare la direzione in cui una certa grandezza cresce più velocemente.

• in caso di funzioni a una sola variabile, è possibile valutare il gradiente di una funzione facendo la derivata rispetto a quell'unica variabile. Il gradiente della grandezza lungo qualsiasi altra direzione sarà nullo.
• in caso di funzioni a più variabili è possibile avere tanti gradienti non nulli quante sono le variabili in gioco. I gradienti lungo le variabili presenti sono non nulli e in questo caso, il gradiente sarà un vettore composto dalle derivate parziali della funzione

Prima di presentare degli esempi riguardanti il calcolo del gradiente in presenza di una funzione a una o più variabili, ecco un chiaro elenco delle principali regole di derivazione:

• la derivata di una somma è pari alla somma delle derivate
• la derivata di un prodotto è pari alla somma tra il prodotto della prima funzione derivata e la seconda non derivata e il prodotto tra la seconda derivata e la prima non derivata
• La derivata di un rapporto di funzioni è una frazione avente al denominatore il quadrato del denominatore della funzione e al numeratore la differenza fra il prodotto del numeratore derivato per il denominatore non derivato e il prodotto del denominatore derivato per il numeratore non derivato
• La derivata di una costante (compreso il numero zero) è nulla

Come calcolare il gradiente di una funzione a una variabile con esempio sulla derivata dell'arcotangente

Come abbiamo già detto, il gradiente di una funzione a una variabile è non nullo solo quando la direzione di derivazione corrisponde all'unica variabile presente. Quindi, nel caso della funzione

possiamo definire soltanto il gradiente lungo x, che sarà:

Ricorda: Il gradiente di una funzione avente una sola variabile, non è un vettore perché è non nullo in un'unica direzione.

Come calcolare il gradiente di una funzione a due variabili con esempio sulla derivata dell'arcotangente

Il gradiente di una funzione avente più di una variabile, indicato con il simbolo

,è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione. In questo caso, si parla di derivate parziali e non della funzione classica proprio perché sono presenti variabili multiple.

Calcolare la derivata parziale significa fare la derivata di una funzione (definita da più variabili) considerando costante una delle due, ossia trattandola alla pari di un qualsiasi numero. Attenzione: non dimenticare che la derivata di una funzione per una costante è pari a

, dove

è una costante e

è la derivata della funzione

. Per la variabile non costante, si effettua una derivata classica a tutti gli effetti e sono quindi validi tutti i teoremi e le regole del caso.

Per capire quali siano gli step corretti da compiere, è bene partire da un esempio. La funzione a più incognite da derivare è

, in cui le incognite presenti sono due:

e

.
Per calcolare il gradiente, quindi, è necessario iniziare determinando le derivate parziali della funzione.
La derivata parziale rispetto ad

si ottiene considerando come variabile

, mentre si considera

come costante:

Il risultato appena ottenuto è la derivata parziale della funzione rispetto ad x. Procediamo allo stesso modo per determinare la derivata parziale della funzione rispetto ad

, trattando

come se fosse una costante:

Le due derivate appena trovate sono i componenti del vettore

, ossia il gradiente della funzione .
Il gradiente della funzione

è definito quindi dal seguente vettore:

Per ulteriori approfondimenti sul gradiente di una funzione a due variabili vedi anche qua