Derivate parziali 1

Calcolare le derivate parziali prime delle funzioni

• (1) f(x, y) = y − log(x + y²);
• (2) f(x, y, z) = x^y + z²;
• (3) f(x, y, z) = (xy)^z;
• (4) f(x, y) = √(x² + y²);
• (5) f(x, y) = sin⁴(y cos(3x));
• (6) f(x, y) = e^{−x2 arctan(2y3)};
• (7) f(x, y, z) = x³ cos(y²z⁴);
• (8) f(x, y, z) = z³ log(1 + x⁶y⁴);
• (9) f(x, y, z, t) = t⁴ cos x + y³e^−z.

Soluzione

(1)

∂f/∂x (x, y) = −1/(x + y²), ∂f/∂y (x, y) = 1 − 2y/(x + y²).

(2)

∂f/∂x (x, y, z) = yx^y−1, ∂f/∂y (x, y, z) = x^y log x, ∂f/∂z (x, y, z) = 2z.

(3)

∂f/∂x (x, y, z) = y z(xy)^z−1, ∂f/∂y (x, y, z) = x z(xy)^z−1, ∂f/∂z (x, y, z) = (xy)^z log(xy).

(4)

∂f/∂x (x, y) = x/√(x² + y²), ∂f/∂y (x, y) = y/√(x² + y²).

Se (x, y) = (0, 0), allora calcoliamo direttamente

lim_t→0 [f((0, 0) + t(1, 0)) − f(0, 0)]/t = lim_t→0 |t|/t,

che non esiste. Dunque f non è derivabile in (0, 0).

(5)

∂f/∂x (x, y) = −3 cos(y cos(3x))y sin(3x), ∂f/∂y (x, y) = cos(y cos(3x))4y cos(3x).

(6)

∂f/∂x (x, y) = e^{−x2 arctan(2y3)}(−2x) arctan(2y³), ∂f/∂y (x, y) = e^{−x2 arctan(2y3)} 6y²/(1 + 4y⁶).

(7)

∂f/∂x (x, y, z) = 3x² cos(y²z⁴), ∂f/∂y (x, y, z) = −2yx³z⁴ sin(y²z⁴)

∂f/∂z (x, y, z) = −4x³y²z³ sin(y²z⁴).