Disequazioni: x^4 - 13x^2 + 36

di _francesca.ricci

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Risolvere la seguente disequazione di quarto grado:

[math] x^4 - 13x^2 + 36 > 0[/math]

Svolgimento

Passiamo all'equazione associata:

[math] x^4 - 13x^2 + 36 = 0[/math]

In questo caso, è necessario un cambio di incognita; chiamiamo

[math] x^2 = y[/math]

Avremmo quindi che:

[math] y^2 - 13y + 36 = 0[/math]

Troviamo le soluzioni con la formula

[math] y = frac(- b Â± \sqrt{b^2 - 4ac})(2a) [/math]

[math] y = frac(- (-13) Â± \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 36})(2) = frac(13 Â± \sqrt(169 - 144))(2) = [/math]

[math] frac(13 Â± \sqrt{25})(2) = frac(13 Â± 5)(2) [/math]

[math] frac(13 + 5)(2) = 9 o frac(13 - 5)(2) = 4 [/math]

Possiamo scrivere la disequazione come:

[math] (y - 9)(y - 4) > 0 [/math]

[math] (x^2 - 9)(x^2 - 4) > 0 [/math]

Risolviamo le singole disequazioni, passando per l'equazione associata:

[math] x^2 - 9 > 0 [/math]

[math] x^2 - 9 = 0 [/math]

[math] x^2 = 9 \to x = Â± 3 [/math]

Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici dell'equazione associata:

[math] x > - 3 â¨ x > 3 [/math]

Passiamo ora all'altra disequazione:

[math] x^2 - 4 > 0 [/math]

[math] x^2 - 4 = 0 [/math]

[math] x^2 = 4 \to x = Â± 2 [/math]

Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici dell'equazione associata:

[math] x > - 2 â¨ x > 2 [/math]

Passiamo allo studio del segno e determiniamo le soluzioni della disequazione:

Considerando che la disequazione iniziale è minore di zero, la soluzione sarà:

[math] - 3 > x > - 2 â¨ 2 > x > 3 [/math]

Disequazioni: x^4 - 13x^2 + 36 < 0

Risoluzione di una disequazione di quarto grado, equazione associata, studio del segno

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