Risolvi in
[math]RR[/math]
la seguente equazione di secondo grado di incognita [math]x[/math]
a coefficienti letterali:[math](x^2)/(a-1)=(x(5a^2-1))/(a^2-1)-(4a^2)/(a+1)[/math]
[math](x^2)/(a-1)=(x(5a^2-1))/(a^2-1)-(4a^2)/(a+1)[/math]
; Essendo [math](a^2-1)=(a-1)(a+1)[/math]
, il m.c.m. è [math](a^2-1)[/math]
[math](x^2(a+1))/(a^2-1)=(x(5a^2-1)-(a-1)4a^2)/(a^2-1)[/math]
; Moltiplicando ambo i membri per [math](a^2-1)[/math]
si ha:[math]x^2(a+1)=x(5a^2-1)-(a-1)4a^2[/math]
;[math]ax^2+x^2=5a^2x-x-(4a^3-4a^2)[/math]
;[math](a+1)x^2=(5a^2-1)x-4a^3+4a^2[/math]
;[math](a+1)x^2+(-5a^2+1)x+4a^3-4a^2=0[/math]
;[math](a+1)x^2+(1-5a^2)x+4a^2(a-1)=0[/math]
; Risolviamo l'equazione di secondo grado
[math]\Delta=b^2-4ac=(1-5a^2)^2-(4 \cdot (4a^2(a-1)) \cdot (a+1))=25a^4+1-10a^2-16a^2(a^2-1)=[/math]
[math]=25a^4+1-10a^2-16a^4+16a^2=9a^4+6a^2+1=(3a^2+1)^2[/math]
[math]x_(1,2)=(-b+-\sqrt{\Delta})/(2a)=(-(1-5a^2)+-\sqrt((3a^2+1)^2))/(2(a+1))=[/math]
[math]=(-1+5a^2+-(3a^2+1))/(2(a+1)) =>[/math]
[math]=> x_1=(-1+5a^2+3a^2+1)/(2(a+1))=(4a^2)/(2(a+1)) ^^ x_2=(-1+5a^2-3a^2-1)/(2(a+1))=(2(a^2-1))/(2(a+1))=a-1[/math]
. Quindi l'equazione è verificata per
[math]x_1=(4a^2)/(2(a+1)) ^^ x_2=a-1[/math]
.
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