Determina le soluzioni della seguente disequazione di secondo grado con valore assoluto:
Svolgimento
Per risolvere questa disequazione, dobbiamo distinguere due casi: quando l'argomento del valore assoluto è maggiore o uguale a zero e quando è minore di zero. Primo, però, svolgiamo i calcoli e lasciamo il valore assoluto al primo membro:
Impostiamo ora i due sistemi:
left{ \begin{array}{rl}
3x^2 + frac{1}{2} x ≥ 0 &\
3x^2 + frac{1}{2} x ≥ 1 + x &
end{array}\right.
[math][/math]
e
left{ \begin{array}{rl}
3x^2 + frac{1}{2} x - (3x^2 + frac{1}{2} x) ≥ 1 + x &
end{array}\right.
[math][/math]
Primo sistema
Cominciamo con il primo sistema e risolviamo la prima disequazione:
Poiché la disequazione è maggiore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radice dell'equazione associata:
Passiamo alla seconda disequazione, sempre del primo sistema:
Passiamo all'equazione associata e prendiamo come soluzioni della disequazione gli intervalli esterni alle radici:
Poiché la disequazione è maggiore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radice dell'equazione associata:
Il primo sistema sarà quindi
left{ \begin{array}{rl}
x ≤ - frac{1}{6} ∨ x ≥ 0 &\
x ≤ - frac{1}{2} ∨ x ≥ frac{2}{3} &
end{array}\right.
[math][/math]
Determiniamo le sue soluzioni:
Secondo sistema
Passiamo ora al secondo sistema:
left{ \begin{array}{rl}
3x^2 + frac{1}{2} x -3x^2 - frac{1}{2} x ≥ 1 + x &
end{array}\right.
[math][/math]
Risolviamo la prima disequazione, che avevamo scomposto in precedenza; questa volta prendiamo gli intervalli interni alle radici dell'equazione associata:
Risolviamo l'altra:
Poiché il delta è minore di zero e la disequazione è minore o uguale a zero, essa non sarà verificata da nessuna x appartenente ai reali.
left{ \begin{array}{rl}
- frac{1}{6} ≤ x ≤ 0&\
∅ &
end{array}\right.
[math][/math]
Le soluzioni finali della disequazione sono date dall'unione delle soluzioni dei due sistemi, quindi avremo come soluzione:
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