vero che per ogni
[math]x[/math]
naturale il numero [math] x (x^4 - 1)[/math]
divisibile per [math]30[/math]
?
Dimostralo in generale.
Svolgimento
[math] x (x^4 - 1)[/math]
Cominciamo scomponendo in fattori:
[math] x (x^2 - 1)(x^2 + 1)[/math]
[math] x (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)[/math]
Ordiniamo la scrittura in ordine crescente:
[math] (x - 1) x (x + 1)(x^2 + 1)[/math]
Un numero divisibile per
[math]30[/math]
deve essere divisibile per [math] 2 \cdot 3 \cdot 5[/math]
.Notiamo che i primi tre termini sella scomposizione sono il prodotto di tre numeri consecutivi
[math] (x - 1) x (x + 1) [/math]
; sappiamo, quindi, che sicuramente vi sar sicuramente un multiplo di due, poich almeno un termine pari, e un multiplo di tre.Per quanto riguarda lultimo termine,
[math](x^2 + 1)[/math]
, essendo la somma di due quadrati, non sempre sar un multiplo di cinque, ma solo in alcuni casi, per esempio per [math] x = 2[/math]
, [math]x = 3[/math]
, [math]x = 7[/math]
, [math]x = 8 [/math]
In tutti gli altri casi, questo termine non divisibile per
[math]5[/math]
, ma lo sono gli altri:
[math] x = 4 o x + 1 = 5[/math]
[math] x = 6 o x - 1 = 5[/math]
[math] x = 9 o x + 1 = 10[/math]
In ogni caso, quindi, abbiamo che almeno un termine divisibile per
[math]2[/math]
, almeno uno divisibile per [math]3[/math]
e almeno uno lo per [math]5[/math]
.
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