Trasporto di un fattore sotto il segno di radice

Parliamo del trasporto di un fattore sotto il segno di radice. A scuola è capitato molte volte di trovarsi immersi in esercizi di questo genere e qualcuno ha anche faticato nel risolverli: ecco perchè ho deciso di analizzare e spiegare le tipologie di esercizi base, passando attraverso la definizione e la dimostrazione.

Definizione

Quando un radicale è moltiplicato per un numero positivo, si può portare tale numero entro radice, quale fattore del radicando, dopo averlo elevato alla potenza di esponente uguale all'indice della radice.

Dimostrazione

Consideriamo l'espressione

a*radice-ennesima(b)

dove n è l'indice generico di radice.

Ricordiamo che vale la seguente proprietà fondamentale dei radicali:

a = radice-ennesima(a^n)

in quanto si può semplificare l'indice con l'esponente.

Perciò si può scrivere così:

a*radice-ennesima(b) = radice-ennesima(a^n)*radice-ennesima(b)

Si applica poi la regola per il prodotto di radicali; avendo le radici uguale indice si procede al prodotto dei radicandi e si ottiene:

radice-ennesima(a^n)*radice-ennesima(b) = radice-ennesima(a^n*b)

Per la proprietà transitiva si deduce allora:

a*radice ennesima(b) = radice-ennesima(a^n*b)

Esempi numerici

Facciamo dei semplici esempi numerici chiarificatori, premettendo che sqrt significa radice quadrata:

3*sqrt(3) = sqrt(3^2*3) = sqrt(3^3)

2*radice-cubica(5) = radice-cubica(2^3*5)

Trasporto sotto segno di radice di fattori letterali

Finora si è analizzato dei casi in cui i fattori da trasportare dentro alla radice siano sempre positivi. Altre volte si possono avere da trasportare dentro alla radice dei fattori letterali (come a ; b ; a+b ; a*b). Di questi, però, non si può sapere con certezza se sono positivi (e quindi trasportabili sotto radice) o negativi, ed è dunque necessaria una discussione nella quale si specifichi ciò che succede quando positivi e ciò quando negativi. Ad esempio, si può avere:

a*sqrt(2)

Qui devo come prima cosa analizzare il radicando e vedere se ci sono condizioni di esistenza: in questo caso no, perchè la radice quadrata impone che il suo radicando sia positivo e il 2 è sempre positivo!

In secondo luogo, devo suddividere i due casi:

- se a>=0 (a maggiore o uguale a 0) allora si può portare dentro la radice senza problemi, in quanto positivo e si ottiene:

a*sqrt(2) = sqrt(2*a^2)

- se a

a*sqrt(2) = -(-a)*sqrt(2)

si procede poi a portar dentro:

-(-a)*sqrt(2) = -sqrt(2*(-a)^2) = -sqrt(2*a^2)

In definitiva, dopo aver eseguito tutti i passaggi sopraccitati, si ottiene:

- a>=0 ---> a*sqrt(2) = sqrt(2*a^2)

- a a*sqrt(2) = -sqrt(2*a^2)

Naturalmente, esiste anche il caso in cui si abbiano delle condizioni di esistenza del radicando che riguardano anche il valore da portar dentro. In tal situazione eseguo l'operazione senza discutere i due casi:

a*sqrt(2*a)

la condizione di esistenza è a>=0, in quanto la radice quadrata impone 2*a positivo, con 2 che è sempre positivo.

Perciò se io conosco come condizione di esistenza che a è sempre maggiore o al massimo uguale a 0 (ma comunque positivo), non si può mai verificare il caso in cui a sia negativo, e perciò applico la regola ed eseguo l'operazione senza discutere:

a*sqrt(2*a) = sqrt(2*a*a^2) = sqrt(2*a^3)

Si può verificare, però, anche il caso in cui io debba portare dentro alla radice una somma o differenza di lettere delle quali non conosco il segno. Anche in questo caso il procedimento è analogo:

(a-b)*sqrt(c)

La condizione di esistenza è c>=0

Distinguo i due casi:

- se a>=b allora si ha:

(a-b)*sqrt(c) = sqrt(c*(a-b)^2)

il doppio uso delle parentesi tonde è dovuto alla video-scrittura;

- se a

(a-b)*sqrt(c) = -(b-a)*sqrt(c) = -sqrt(c*(b-a)^2)

da notare che (b-a)^2 = (a-b)^2 , perciò:

(a-b)*sqrt(c) = -sqrt(c*(a-b)^2)

Ma anche in questo caso si deve tener d'occhio le condizioni di esistenza. Infatti:

[1/(a+b)]*sqrt(a+b)

Condizioni di esistenza:
- se consideriamo il radicando, si ha come condizione di esistenza a+b>=0 ---> a>=-b
- se consideriamo la frazione fuori radice, sappiamo che il denominatore non può essere 0 e perciò si ha la condizione a=/-b (per convenzione ci accordiamo che a=/-b significa a diverso da b)
- mettendo assieme le due, si ha che la condizione di esistenza è a>-b.

Pertanto so che a+b è per condizione di esistenza sempre positivo. Dunque eseguo l'operazione senza discussione:

[1/(a+b)]*sqrt(a+b) = sqrt((a+b)*1/(a+b)^2) = sqrt(1/(a+b)) = 1/sqrt(a+b)

da notare che nel secondo passaggio 1^2 = 1 e nel terzo si è semplificato in quanto c'è il prodotto sotto radice.

Quando bisogna portare un fattore letterale sotto radice cubica ed è necessaria la discussione, sia nel caso positivo che in quello negativo si ottengono due risultati uguali. Eccovi la spiegazione.

(a-b)*radice-cubica(2)

Non ci sono condizioni di esistenza.

Si distinguono i due casi:

- se a>=b, allora risulta:

(a-b)*radice-cubica(2) = radice-cubica(2*(a-b)^3)

- se a

(a-b)*radice-cubica(2) = -(b-a)*radice-cubica(2) = -radice-cubica(2*(b-a)^3)

...E voi direte che non sono uguali...si a prima vista sembrano diversi, ma adesso vi mostro che in realtà sono identici!

Innanzi tutto premetto che:

radice-cubica(-1) = -1

Perciò nel seguente caso io posso scrivere:

radice-cubica(b-a) = radice-cubica(-(a-b)) = radice-cubica(-1)*radice-cubica(a-b) = -1*radice-cubica(a-b) = -radice-cubica(a-b)

Ma ritorniamo all'esempio di prima:

(a-b)*radice-cubica(2)

Abbiamo trovato come risultati:

- radice-cubica(2*(a-b)^3)
- -radice-cubica(2*(b-a)^3)

Se applichiamo al secondo risulatato il discorso precedentemente analizzato, si ottiene:

-radice-cubica(2*(b-a)^3) = -radice-cubica(-2*(a-b)^3) = -radice-cubica(-1)*radice-cubica(2*(a-b)^3) = (-)*(-1)*radice-cubica(2*(a-b)^3) = radice-cubica(2*(a-b)^3)

Confrontiamo ora i risultati:

- radice-cubica(2*(a-b)^3)
- radice-cubica(2*(a-b)^3)

Si può dire, dunque, che sono uguali! Questo discorso vale, però, solo ed esclusivamente per le radici cubiche!

Riepilogo finale e schematizzazione

Riavvolgendo il nastro e riepilogando le idee, vi propongo uno schema che potete seguire per fare l'operazione di portare sotto segno di radice:
1) Copiare bene il testo o, nel caso io abbia precedentemente un'espressione, fare bene i calcoli e scrivere bene i segni....è una banalità ma importante.
2) Individuare se si lavora in R+ o in R
3) Porre le condizioni di esistenza, analizzando sia il radicale che il valore fuori radice.
4) Individuare il metodo di risoluzione dell'esercizio, capendo se è necessaria o meno la discussione e quali sono i casi da discutere.
5) Procedere allo svolgimento dell'esercizio, mostrando con ordine i passaggi.
6) Revisione e controllo delle precedenti fasi.