LA TEORIA DI GALOIS

Il matematico Evariste Galois è famoso per aver elaborato, ancora giovanissimo, un metodo per determinare le radici delle equazioni più complesse attraverso semplici operazioni algebriche.
Questo ha poi portato alla formulazione della "teoria di Galois", che utilizza i gruppi di permutazioni per mostrare in che modo le varie radici di un polinomio sono connesse tra loro.

In questo appunto si illustrerà brevemente la teoria di Galois, attraverso un semplice esempio; pensiamo all'equazione con coefficienti razionali (per il momento ci limitiamo a coefficienti di questo tipo):

[math]x^{4}-46x^{2}+289=0[/math]

che è di quarto grado (equazione biquadratica). Essa ha quattro soluzioni con numeri radicali, che sono:

[math]α=-\sqrt{3}+2\sqrt{5}\\
β=-\sqrt{3}-2\sqrt{5}\\
χ=\sqrt{3}+2\sqrt{5}\\
δ=\sqrt{3}-2\sqrt{5}[/math]

Se consideriamo le possibili permutazioni tra esse, troviamo che esistono

[math]24[/math]
possibilità. Oggi sappiamo che formano un gruppo chiamato
[math]S_{4}[/math]
di ordine
[math]24[/math]
.

Le quattro soluzioni trovate rendono nullo il polinomio:

[math]P(x)=x^{4}-46x^{2}+289[/math]

Si nota subito che tra le varie permutazioni di queste quattro soluzioni ci sono sottili differenze di simmetria. Per esempio, se consideriamo le espressioni....

[math]α+δ=0\\
β+χ=0[/math]

notiamo subito che sono indubbie. Niente cambia se si applica la permutazione:

[math]\begin{bmatrix}α&β&χ&δ\\δ&χ&β&α\\\end{bmatrix}[/math]

...perché si ottengono le eguaglianze:

[math]δ+α=0\\
χ+β=0[/math]


...che mostra quanto nulla è cambiato. Se si scambiano le radici, dunque, tutto rimane inalterato.
Si ha dunque che anche qualunque altra equazione algebrica con coefficienti razionali soddisfatta da queste soluzioni, rimane. In altri termini: qualunque espressione algebrica vera con coefficienti razionali rimane inalterata in seguito a una simile permutazione delle radici, la quale rende indistinguibili le radici interessate.

Se il polinomio

[math]P(x)[/math]
avesse un'anima, dunque, vivrebbe nell'ignoranza della permutazione, perché non avrebbe un'espressione a coefficienti razionali che lo indichi. Questo enunciato, la cui comprensione richiede forse qualche attimo di riflessione, è quanto è stato dimostrato da Galois.

Esistono altre espressioni algebriche, invece, che si modificano se scambiamo

[math]δ[/math]
con
[math]α[/math]
e
[math]χ[/math]
con
[math]β[/math]
:


[math]α-δ=-2\sqrt{3}+4\sqrt{5}\\
δ-α=2\sqrt{3}-4\sqrt{5}\\
β-χ=-2\sqrt{3}-4\sqrt{5}\\
χ-β=2\sqrt{3}+4\sqrt{5}[/math]

Le permutazioni che non alterano le espressioni algebriche a coefficienti razionali formano un gruppo, che oggi chiamiamo gruppo di Galois.

Pertanto, alcune delle simmetrie in

[math]S_{4}[/math]
(o gruppo simmetrico delle permutazioni di quattro elementi) fanno parte del gruppo di Galois mentre altre no. La permutazione:


[math]\begin{bmatrix}α&β&χ&δ\\χ&β&α&δ\\\end{bmatrix}[/math]


ad esempio, scambia

[math]α[/math]
e
[math]χ[/math]
e non conduce a un'espressione valida, perché
[math]α+δ=0[/math]
diventa
[math]χ+δ=2\sqrt{3} \neq 0[/math]
. Pertanto, non appartiene al gruppo.

Se continuiamo a cercare tutte le permutazioni "buone" possibili, troveremo che sono soltanto

[math]4[/math]
tra le
[math]24[/math]
possibili di
[math]S_{4}[/math]
, e che il gruppo di Galois formato da queste
[math]4[/math]
permutazioni risulta isomorfo al gruppo di Klein, nel merito del quale non entriamo.

In termini generali, prescindendo dal grado, si trova che ogni equazione ha il suo gruppo (o gruppi), e tale gruppo dipende dai radicali e dalla struttura delle soluzioni.

La conclusione della teoria di Galois è che:

Un'equazione è solubile se, e soltanto se, il suo gruppo di Galois è solubile, intendendo per equazione solubile quella che si può risolvere con operazioni elementari che coinvolgono i radicali.

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