Siano
[math]\mathcal{V}[/math]
e [math]\mathcal{W}[/math]
spazi vettoriali sullo stesso campo [math]\mathcal{K}[/math]
e siano
[math]\phi: \mathcal{V} \to \mathcal{W}[/math]
, [math]\\psi: \mathcal{W} \to \mathcal{V}[/math]
trasformazioni lineari da [math]\mathcal{V}[/math]
a [math]\mathcal{W}[/math]
e, rispettivamente, da [math]\mathcal{W}[/math]
a [math]\mathcal{V}[/math]
. Si assuma che
[math]dim(\mathcal{V}) = 132[/math]
, [math]dim(\mathcal{W}) = 150[/math]
- È possibile che [math]\\psi \phi[/math]sia iniettiva?
- È possibile che [math]\\psi \phi[/math]sia suriettiva?
- È possibile che [math]\\psi \phi[/math]sia invertibile?
- È possibile che [math]\\psi[/math]sia suriettiva?
- È possibile che [math]\\psi[/math]sia iniettiva?
- È possibile che [math]\\psi[/math]sia invertibile?
- È possibile che [math]dim(ker(\\psi)) \ge 18[/math]?
- È possibile che [math]\text{?
ull}(\phi) = \text{rank}(\phi)[/math] - È possibile che [math]\text{?
ull}(\phi) = 2 \cdot \text{rank}(\phi)[/math]
Le trasformazioni
[math]\phi[/math]
e [math]\\psi[/math]
sono componibili, perché il dominio di [math]\\psi[/math]
coincide con il codominio di [math]\phi[/math]
, e risulta:
[math]\\psi \phi: \mathcal{V} \\rightarrow \mathcal{V}[/math]
Dato che [math]\\psi \phi[/math]
è un endomorfismo può essere sia iniettivo che suriettivo, quindi anche invertibile, pertanto le domande 1., 2., 3. hanno risposta 'Sì'. Per il teorema di nullità + rango si può scrivere:
[math]dim(\mathcal{W}) = \text{
ull}(\\psi) + \text{rank}(\\psi)[/math]
cioè
ull}(\\psi) + \text{rank}(\\psi)[/math]
[math]150 = \text{
ull}(\\psi) + \text{rank}(\\psi)[/math]
Se ull}(\\psi) + \text{rank}(\\psi)[/math]
[math]\\psi[/math]
fosse suriettiva risulterebbe [math]rank(\\psi)=132[/math]
, e si troverebbe
[math]150 =
ull(\\psi) + 132[/math]
quindi
ull(\\psi) + 132[/math]
[math]
ull(\\psi) = 18[/math]
pertanto la trasformazione ull(\\psi) = 18[/math]
[math]\\psi[/math]
può essere suriettiva. Se [math]\\psi[/math]
fosse iniettiva risulterebbe [math]\text{
ull}(\\psi) = 0[/math]
, e in questo caso si otterrebbe:
ull}(\\psi) = 0[/math]
[math]150 = 0 + \text{rank}(\\psi)[/math]
assurdo, perché il rango di un'applicazione lineare non può superare la dimensione del codominio, pertanto [math]\\psi[/math]
non può essere iniettiva, quindi neanche invertibile. Dal teorema di nullità + rango si può scrivere:
[math]dim(ker(\\psi)) = 150 - \text{rank}(\\psi)[/math]
L'immagine è un sottospazio vettoriale del codominio, in questo caso quindi il rango, cioè la dimensione dell'immagine, può variare fra [math]0[/math]
e [math]132[/math]
, di conseguenza è sempre verificata la disuguaglianza [math]dim(ker(\\psi)) \ge 18[/math]
, pertanto la risposta al punto 7. è Sì.
[math]\\psi[/math]
è suriettiva se e solo se immagine e codominio coincidono, ovvero se il rango coincide con la dimensione di [math]\mathcal{V}[/math]
, cioè [math]132[/math]
. Sempre dal teorema di nullità + rango:
[math]\text{rank}(\\psi) = 150 - \text{
ull}(\\psi)[/math]
Se ull}(\\psi)[/math]
[math]\text{
ull}(\\psi) = 18[/math]
allora ull}(\\psi) = 18[/math]
[math]\text{rank}(\\psi)=132[/math]
: in questo caso il rango coincide con la dimensione del codominio, e la trasformazione [math]\\psi[/math]
è suriettiva, pertanto la risposta alla domanda 8. è Sì. Dal teorema di nullità + rango, applicato alla trasformazione [math]\phi[/math]
, si ottiene:
[math]132 = \text{
ull}(var\phi) + \text{rank}(var\phi)[/math]
Se ull}(var\phi) + \text{rank}(var\phi)[/math]
[math]\text{
ull}(\phi) = \text{rank}(\phi)[/math]
si ottiene:
ull}(\phi) = \text{rank}(\phi)[/math]
[math]2 \cdot \text{
ull}(\phi) = 132 \implies \text{
ull}(\phi) = \text{rank}(\phi) = 76[/math]
Dato che ull}(\phi) = 132 \implies \text{
ull}(\phi) = \text{rank}(\phi) = 76[/math]
[math]\text{
ull}(\phi), \text{rank}(\phi) \le dim(\mathcal{V})[/math]
e ull}(\phi), \text{rank}(\phi) \le dim(\mathcal{V})[/math]
[math]\text{rank}(\phi) \le dim(\mathcal{W})[/math]
, i risultati sono accettabili, e la risposta alla domanda 9. è 'Sì'. Se [math]\text{
ull}(\phi) = 2 \cdot \text{rank}(\phi)[/math]
si ottiene:
ull}(\phi) = 2 \cdot \text{rank}(\phi)[/math]
[math]132 = 3 \cdot \text{rank}(\phi)[/math]
cioè
[math]\text{rank}(\phi) = 44[/math]
e [math]\text{
ull}(\phi) = 88[/math]
. Dato che ull}(\phi) = 88[/math]
[math]\text{
ull}(\phi), \text{rank}(\phi) \le dim(\mathcal{V})[/math]
e ull}(\phi), \text{rank}(\phi) \le dim(\mathcal{V})[/math]
[math]\text{rank}(\phi) \le dim(\mathcal{W})[/math]
i risultati sono accettabili e la risposta alla domanda 10. è Sì.
FINE
![Esercizi e Appunti di Algebra lineare: [math] \lim_{x\rightarrow\infty} \Big(1+\frac{4}{x}\Big)^x [/math]](https://cdn.skuola.net/shared/thumb/159x141/news_foto/2017/10/limxinf14xx.jpg)
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