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Teorema del Resto - Dimostrazione

Enunciato
L'enunciato del Teorema del Resto dice che:
Sia P(x) un polinomio, il resto della divisione di
[math]\frac{P(x)}{(x-a)}[/math]
è uguale al valore che assume P(a). Per esempio, vogliamo determinare il resto della divisione del polinomio P(x) per il binomio x-2.
[math]P(x) = x^3-3x^2+4x-2[/math]
Applichiamo il teorema del resto.
[math]P(2) = 2^3 - 3(2^2) + 4 * 2 - 2 = 8-12+8-2 = 2[/math]
.
[math]\frac{(x^2-3x+2)}{x-3} R = 3^2-3 * 3 + 2 = 2[/math]
C'è da precisare che il Teorema del Resto vale per qualsiasi polinomio P(x) di qualsiasi grado.
Il Teorema di Ruffini è infatti una conseguenza del Teorema del Resto.
Dimostrazione del Teorema del Resto
Considero P(x) un polinomio e sia (x - a) il divisore.
Allora possiamo dire che:
[math]P(x) = Q(x) * (x-a) + R(x)[/math]
Infatti in una divisione: dividendo = divisore * quoziente + resto.
Siccome
[math]deg(x-a) = 1[/math]
(dove deg sta per grado),
[math]degR(x) = 0[/math]
.
Dato che
[math]degR(x) = 0[/math]
, allora R(x) sarà per forza un numero, che chiamo R.
Proviamo adesso a sostituire la x con la a.
Avremo che:
[math]P(a) = Q(a) * (a-a) + R.[/math]
[math]P(a) = Q(a) * 0 + R[/math]
[math]P(a) = R[/math]
, allora si ottiene la tesi, ovvero ciò che avevamo intenzione di dimostrare.
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