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Determinazione di interi dati somma e prodotto

Risolviamo insieme un esercizio che chiede di determinare due numeri interi dati la loro somma e il loro prodotto.
Siano a,b due numeri interi tali che:
[math]a+b=54[/math]

[math]ab = 629[/math]

Determinare il valore di a, e il valore di b.
Svolgimento
Dai dati che abbiamo a disposizione, si sa che:
[math]b = 54-a[/math]
.
A questo punto sappiamo anche che:
[math]ab = 629[/math]
, che equivale a dire:
[math]a(54-a) = 629[/math]
. Sviluppando i prodotti:
[math]-a^2+54a = 629[/math]
, ossia:
[math]-a^2+54a-629 = 0[/math]
.
Se risolviamo l'equazione di secondo grado otteniamo che
[math]a = \frac{-54+\sqrt{54^2-629*4}}{-2} = \frac{-54+\sqrt{400}}{-2} = \frac{-54+20}{-2} = \frac{-34}{-2} = 17[/math]
A questo punto è facile ricavare b, poiché
[math]17+b = 54[/math]
, da cui si ottiene
[math]b = 37[/math]
.
È semplice! Basta conoscere le formule risolutive delle equazioni di secondo grado. Facciamone un altro:

Esercizio
Due numeri x, y sono tali che la loro somma è 77 e il loro prodotto è 1462.
Determinare i valori di x e y.
Svolgimento
Sappiamo che:
[math]x+y = 77[/math]

[math]xy = 1462[/math]

Quindi
[math]y = 77-x[/math]
.
Scriviamo l'equazione che permette di trovare x:
[math]x(77-x) = 1462[/math]
,
che sviluppando i prodotti diventa:
[math]77x-x^2-1462 = -x^2+77x-1462 = 0[/math]
Troviamo
[math]x[/math]
:
[math]\frac{-77+\sqrt{77^2-1462*4}}{-2} = \frac{-77+\sqrt{81}}{-2} = \frac{-77+9}{-2} = \frac{-68}{-2} = 34[/math]
Una volta trovata la x, troviamo la y sottraendo. 77-34 = 43.
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