Risoluzione di una disequazione lineare

Vediamo alcuni passaggi che ci aiuteranno nella risoluzione delle disequazioni lineari, cioè di primo grado, nell'incognita x:

Per prima cosa, si eseguono le eventuali operazioni, semplificando la scrittura, e si eliminano i denominatori delle eventuali frazioni;
Si trasportano tutti i termini contenenti l'incognita al primo membro e tutti i fattori numerici al secondo membro;
si svolgono i conti, semplificando gli eventuali termini simili;
A questo punto, la disuguaglianza si presenter in una delle quattro forme seguenti:
[math] \displaystyle ax \gt b[/math]
;
[math] \displaystyle ax \lt b[/math]
;
[math] \displaystyle ax \le b[/math]
;
[math] \displaystyle ax \ge b[/math]
; distinguiamo due casi:
- Se
  [math] \displaystyle a \ne 0[/math]
  si dividono entrambi i membri della disequazione per a, tenendo conto del suo segno: se a è negativo, dobbiamo cambiare il verso delle disequazione;
- Se a = 0, il primo membro assume il valore 0 qualunque sia il valore di x. In base al valore di b la disequazione si trasformer in una disuguaglianza sempre vera o sempre falsa; di conseguenza, avremmo una disequazione verificata per ogni x
  (l'insieme delle soluzioni R) oppure una disequazione mai verificata (l'insieme delle soluzioni l'insieme vuoto);

Esempio: risolviamo la seguente disequazione:

[math] \displaystyle \frac{2(1+2x)}{5} - \frac{2x+3}{4} - \frac{1}{5} \lt \frac{3}{10}x + 1[/math]

cominciamo riducendo le frazioni al denominatore comune, e sommando le frazioni:

[math] \displaystyle \frac{4 \cdot 2 (1+2x) - 5\cdot(2x+3)-4}{20} \lt \frac{2\cdot 3x + 20}{20}[/math]

dato che il denominatore positivo, possiamo eliminarlo, ottenendo sempre una disequazione equivalente:

[math] \displaystyle 4 \cdot 2(1+2x) - 5 \cdot (2x+3) - 4 \lt 2 \cdot 3x + 20[/math]

svolgiamo i calcoli, portando tutti i termini con l'incognita al primo membro, e tutti numeri al secondo membro:

[math] \displaystyle 8 + 16x - 10x - 15 - 4 \lt 6x + 20[/math]

[math] \displaystyle 16x - 10x - 6x \lt 20 - 8 + 15 + 4[/math]

La disequazione ottenuta si trasforma in una disuguaglianza vera (

[math] \displaystyle 0 \lt 31[/math]

), qualunque sia il valore di x; concludiamo che la disequazione sempre verificata, e scriviamo:

[math] \displaystyle S = \mathbb{R} [/math]

Esempio: risolviamo la seguente disequazione:

[math] \displaystyle (x+2)^2 - 2x \lt x^2 - 4x - 3[/math]

svolgiamo il quadrato del binomio:

[math] \displaystyle x^2 + 4 + 4x - 2x \lt x^2 - 4x - 3[/math]

notiamo che in entrambi i membri compare il termine x alla seconda, che possiamo eliminare:

[math] \displaystyle 4 + 4x - 2x \lt -4x - 3[/math]

trasportiamo i termini contenenti l'incognita al primo membro, e i numeri al secondo, poi sommiamo i termini simili:

[math] \displaystyle 4x - 2x + 4x \lt -3 - 4[/math]

[math] \displaystyle 6x \lt -7[/math]

dividiamo entrambi i membri per il coefficiente di x:

[math] \displaystyle \frac{6x}{6} \lt \frac{-7}{6}[/math]

[math] \displaystyle x \lt -\frac{7}{6}[/math]

Possiamo anche scrivere linsieme delle soluzioni in questo modo:

[math] \displaystyle S = \Big( -\infty; -\frac{7}{6} \Big)[/math]

Risoluzione grafica delle disequazioni lineari

Consideriamo una disequazione ridotta in forma normale, come si presenta, cio, dopo i passaggi si semplificazione;

supponiamo di avere una disequazione del tipo
[math] \displaystyle ax \lt b [/math]
, cioè
[math] \displaystyle ax - b \lt 0[/math]
.

Osserviamo che il suo primo membro può essere considerato come lespressione analitica di una funzione lineare, e precisamente della funzione di equazione

[math] \displaystyle y = ax - b[/math]

, l'equazione di una retta.

Per risolvere graficamente una disequazione di questo tipo, dobbiamo considerare i punti della retta di equazione

[math] y = ax - b [/math]

che si trovano al di sotto dell'asse x, poich per questi punti si ha

[math] \displaystyle y \lt 0[/math]

. Linsieme delle soluzioni dato dallinsieme di tutti questi punti.

Esempio: consideriamo la disequazione

[math] \displaystyle 2x + 1 \lt 0[/math]

l'equazione della retta che dovremmo rappresentare

[math] \displaystyle y = 2x + 1[/math]

per tracciare il grafico della retta, diamo ad x vedi valori arbitrari, trovando i corrispettivi valori di y:

[math] \displaystyle x = 0 \rightarrow y = 1[/math]

[math] \displaystyle x = 1 \rightarrow y = 2 + 1 = 3[/math]

sapendo che la retta passa per i punti (0 ; 1) e (1 ; 3), possiamo rappresentarla

nel piano cartesiano:

La soluzioni della disequazione è l'insieme dei numeri per cui la retta assume valori negativi, cioè si trova al di sotto dell'asse delle ascisse; il punto in cui la retta interseca l'asse x si può trovare ponendo y = 0:

[math] \begin{cases} y = 0 \\ y = 2x + 1 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} y = 0 \\ x = -\frac{1}{2} \end{cases} [/math]

Il punto di intersezione è quindi (- 1/2 ; 0) per valori minori di x la retta si trova al di sotto dell'asse x; quindi, l'insieme delle soluzioni è dato da:

[math] \displaystyle S = \Big(-\infty; -\frac{1}{2} \Big)[/math]

supponiamo ora di avere una disequazione del tipo
[math] \displaystyle ax \gt b [/math]
, cioè
[math] \displaystyle ax - b \gt 0 [/math]
.

Questa volta, dobbiamo considerare i punti della retta di equazione

[math] \displaystyle y = ax - b[/math]

che si trovano al di sopra dell'asse x, poiché per questi punti si ha

[math] \displaystyle y \gt 0 [/math]

. L'insieme delle soluzioni è dato dall'insieme di tutti questi punti.

Esempio: consideriamo la disequazione

[math] \displaystyle -\frac{1}{2}x + 4 \gt 0[/math]

l'equazione della retta che dovremmo rappresentare è

[math] \displaystyle y = -\frac{1}{2}x + 4[/math]

per tracciare il grafico della retta, diamo ad x vedi valori arbitrari, trovando i corrispettivi valori di y:

[math] \displaystyle x = 0 \rightarrow y = 4[/math]

[math] \displaystyle x = 2 \rightarrow y = -1 + 4 = 3[/math]

sapendo che la retta passa per i punti (0 ; 4) e (2 ; 3),tracciamo il suo grafico:

Risoluzione delle disequazioni articolo

La soluzioni della disequazione è l'insieme dei valori per cui la retta assume valori positivi, cioè si trova al di sopra dell'asse delle ascisse; il punto in cui la retta interseca l'asse x si può trovare ponendo y = 0:

[math] \begin{cases} y = 0 \\ y = -\frac{1}{2}x + 4 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} y = 0 \\ x = 8 \end{cases} [/math]

Il punto di intersezione è quindi (8 ; 0); per valori minori di x la retta si trova al di sopra dell'asse x; quindi, l'insieme delle soluzioni è dato da:

[math] \displaystyle S = (-\infty; 8)[/math]

Risoluzione delle disequazioni