Punti di discontinuità funzioni con valori assoluti

[math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = \lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l[/math]

(i limiti sinistro e destro devono essere entrambi finiti e coincidere)

[math]f(c)=l[/math]

(il valore della funzione in c deve coincidere con il limite l)

Se qualcuna delle condizioni precedenti non è verificata allora si dice che c è un punto di discontinuità

Si hanno 3 specie di punti di discontinuità

1. Discontinuità di I spacie

   
   

   [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = l_1[/math]
   
   
   [math]\lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l_2[/math]
   
   
   [math]l_1 \neq l_2[/math]
   
   Cioè i limiti sinistro e destro sono entrambi finiti ma diversi tra loro
   In questo vaso si definisce il salto della funzione la differenza tra i limiti
   [math]salto=l_2-l_1[/math]




2. Discontinuità di II specie
   Almeno uno dei due limiti (sinistro o destro) o non esiste o è infinito
   


3. Discontinuità di III specie
   I due limiti sinistro e destro sono entrambi finiti, coincidono fra di loro ma o la funzione non è definita in c oppure
   [math]f(c) \neq l[/math]

Quando si ha una funzione che presenta valori assoluti prima di tutto si riscrive la funzione con l'equivalente definita per intervalli. Le operazioni da effettuare sono quindi le seguenti:

1. Si riscrive la funzione come funzione definite per intervalli
   
2. Si studia la continuità per la funzione definita per intervalli nel seguente modo:
   

Nelle funzioni definite per intervalli i punti di discontinuità si cercano tra i seguenti valori:

1. Si prende ognuna delle espressioni della funzione e si determinano i punti di accumulazione del suo dominio (della singola espressione non della funzione) che appartengono al suo intervallo di competenza
   
2. I valori che sono di raccordo tra i vari intervalli di competenza delle singole espressioni
   

La trasformazione di una funzione con valori assoluti in una definita per intervalli si effettua nel seguente modo:

1. Si studia il segno degli argomenti di tutti i valori assoluti che compaiono nella funzione
   
2. Dal grafi complessivo degli studi di segno si deduce quanto segue:
   
   • Se l'argomento del valore assoluto è positivo allora si sostituisce il valore assoluto semplicemente col suo argomento, se invece l'argomento è negativo si sostituisce il valore assoluto col suo argomento cambiato di segno
     

Negli esercizi allegati puoi vedere lo svolgimento dello studio sulle seguenti funzioni:

• [math]f(x) = \frac{|x^2-16|}{x-4}[/math]
• [math]f(x) = \log \left( \left| \frac{2x-1}{x-4} \right| \right)[/math]