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Se qualcuna delle condizioni precedenti non è verificata allora si dice che c è un punto di discontinuità
Si hanno 3 specie di punti di discontinuità
Discontinuità di I spacie
[math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = l_1[/math]
[math]\lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l_2[/math]
[math]l_1 \neq l_2[/math]
Cioè i limiti sinistro e destro sono entrambi finiti ma diversi tra loro
In questo vaso si definisce il salto della funzione la differenza tra i limiti[math]salto=l_2-l_1[/math]
Discontinuità di II specie
Almeno uno dei due limiti (sinistro o destro) o non esiste o è infinito
Discontinuità di III specie
I due limiti sinistro e destro sono entrambi finiti, coincidono fra di loro ma o la funzione non è definita in c oppure[math]f(c) \neq l[/math]
Quando si ha una funzione che presenta valori assoluti prima di tutto si riscrive la funzione con l'equivalente definita per intervalli. Le operazioni da effettuare sono quindi le seguenti:
Si riscrive la funzione come funzione definite per intervalli
Si studia la continuità per la funzione definita per intervalli nel seguente modo:
Nelle funzioni definite per intervalli i punti di discontinuità si cercano tra i seguenti valori:
Si prende ognuna delle espressioni della funzione e si determinano i punti di accumulazione del suo dominio (della singola espressione non della funzione) che appartengono al suo intervallo di competenza
I valori che sono di raccordo tra i vari intervalli di competenza delle singole espressioni
La trasformazione di una funzione con valori assoluti in una definita per intervalli si effettua nel seguente modo:
Si studia il segno degli argomenti di tutti i valori assoluti che compaiono nella funzione
Dal grafi complessivo degli studi di segno si deduce quanto segue:
Se l'argomento del valore assoluto è positivo allora si sostituisce il valore assoluto semplicemente col suo argomento, se invece l'argomento è negativo si sostituisce il valore assoluto col suo argomento cambiato di segno
Negli esercizi allegati puoi vedere lo svolgimento dello studio sulle seguenti funzioni:
- [math]f(x) = \frac{|x^2-16|}{x-4}[/math]
- [math]f(x) = \log \left( \left| \frac{2x-1}{x-4} \right| \right)[/math]
1
Punti di discontinuitá della seguente funzione:
2 16
x -
y = 4
x -
Funzione equivalente definita per intervalli:
4 4
x x x
+ < -4 ∨ >
f(x) = 4 4
x
-x - -4 ≤ <
Dominio della funzione:
]-∞;4[ ⋃ ]4;∞[ 4 4
oppure x x
→ < ∨ >
-{4}
Valori candidati per essere discontinuitá:
Punti di accumulazione del dominio che non appartengono al dominio:
x 4
=
Valori di raccordo degli intervalli di definizione delle varie espressioni della funzione:
x x 4
= -4 =
Calcolo dei limiti e classificazione delle discontinuitá:
4 4
x x x
+ < -4 ∨ >
4 4
x lim 0
x
-x - -4 ≤ <
Funzione continua
=-4 =
1 x→-4 - Null True
2
x -16 0
lim =
x-4
x→-4 +
f( 0
-4 ) = 4 4
x x x
+ < -4 ∨ >
4 4
x lim x
-x - -4 ≤ <
Discontinuitá di I specie
=4 = -8
2 x→4 - Null True
2
x -16 8
lim =
x-4
x→4 +
f( 4 ) =
Grafico
* *
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2 5 2 4
-4 -2 -5
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Punti di discontinuitá della seguente funzione:
2 1
x -
log
y
= 4
x -
Funzione equivalente definita per intervalli:
2 1
log 4
x-1 x x
< ∨ >
2
x-4
f(x) = 1-2 1
log 4
x x
< <
2
x-4
Dominio della funzione:
12 12 ;4[
]-∞; [ ⋃ ] ⋃ ]4;∞[ 1 1
oppure 4 4
x x
x ∨ < < ∨ >
→ < 2 2
12 , 4
-
Valori candidati per essere discontinuitá:
Punti di accumulazione del dominio che non appartengono al dominio:
1
x x 4
= =
2
Valori di raccordo degli intervalli di definizione delle varie espressioni della funzione:
1
x x 4
= =
2
Calcolo dei limiti e classificazione delle discontinuitá:
2 1
log 4
x-1 x x
< ∨ >
2
x-4
12
x lim 1-2 1
log 4
x
Discontinuitá di II specie
= = -∞
x
< <
1 2
- x-4
12
x→ Null True
2
log
lim x-1 = -∞
x-4
+
12
x→ 1
f =
2
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