Punti di discontinuità funzioni con valori assoluti

Punti di discontinuità

• [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = \lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l[/math]
  (i limiti sinistro e destro devono essere entrambi finiti e coincidere)
• [math]f(c)=l[/math]
  (il valore della funzione in c deve coincidere con il limite l)

Se qualcuna delle condizioni precedenti non è verificata allora si dice che c è un punto di discontinuità.

Si hanno 3 specie di punti di discontinuità.

• Discontinuità di I specie
  [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = l_1[/math]
  [math]\lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l_2[/math]
  [math]l_1 \neq l_2[/math]
  Cioè i limiti sinistro e destro sono entrambi finiti ma diversi tra loro. In questo caso si definisce il salto della funzione la differenza tra i limiti
  [math]salto=l_2-l_1[/math]
  .
• Discontinuità di II specie Almeno uno dei due limiti (sinistro o destro) o non esiste o è infinito.
• Discontinuità di III specie I due limiti sinistro e destro sono entrambi finiti, coincidono fra di loro ma o la funzione non è definita in c oppure
  [math]f(c) \neq l[/math]
  .

Studio delle discontinuità nelle funzioni con valori assoluti

Quando si ha una funzione che presenta valori assoluti prima di tutto si riscrive la funzione con l'equivalente definita per intervalli. Le operazioni da effettuare sono quindi le seguenti:

• Si riscrive la funzione come funzione definita per intervalli.
• Si studia la continuità per la funzione definita per intervalli nel seguente modo.

Nelle funzioni definite per intervalli i punti di discontinuità si cercano tra i seguenti valori:

• Si prende ognuna delle espressioni della funzione e si determinano i punti di accumulazione del suo dominio (della singola espressione non della funzione) che appartengono al suo intervallo di competenza.
• I valori che sono di raccordo tra i vari intervalli di competenza delle singole espressioni.

La trasformazione di una funzione con valori assoluti in una definita per intervalli si effettua nel seguente modo:

• Si studia il segno degli argomenti di tutti i valori assoluti che compaiono nella funzione.
• Dal grafico complessivo degli studi di segno si deduce quanto segue:
• Se l'argomento del valore assoluto è positivo allora si sostituisce il valore assoluto semplicemente col suo argomento, se invece l'argomento è negativo si sostituisce il valore assoluto col suo argomento cambiato di segno.

Negli esercizi allegati puoi vedere lo svolgimento dello studio sulle seguenti funzioni:

• [math]f(x) = \frac{|x^2-16|}{x-4}[/math]
• [math]f(x) = \log \left( \left| \frac{2x-1}{x-4} \right| \right)[/math]