Anteprima
Vedrai una selezione di 1 pagina su 4
Punti di discontinuità funzioni con valori assoluti Pag. 1
1 su 4
Disdici quando vuoi 162x117
Disdici quando
vuoi
Acquista con carta
o PayPal
Scarica i documenti
tutte le volte che vuoi
Sintesi


  • [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = \lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l[/math]
    (i limiti sinistro e destro devono essere entrambi finiti e coincidere)


  • [math]f(c)=l[/math]
    (il valore della funzione in c deve coincidere con il limite l)



  • Se qualcuna delle condizioni precedenti non è verificata allora si dice che c è un punto di discontinuità

    Si hanno 3 specie di punti di discontinuità



    1. Discontinuità di I spacie


      [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = l_1[/math]


      [math]\lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l_2[/math]


      [math]l_1 \neq l_2[/math]


      Cioè i limiti sinistro e destro sono entrambi finiti ma diversi tra loro
      In questo vaso si definisce il salto della funzione la differenza tra i limiti
      [math]salto=l_2-l_1[/math]






    2. Discontinuità di II specie
      Almeno uno dei due limiti (sinistro o destro) o non esiste o è infinito



    3. Discontinuità di III specie
      I due limiti sinistro e destro sono entrambi finiti, coincidono fra di loro ma o la funzione non è definita in c oppure
      [math]f(c) \neq l[/math]




    Studio delle discontinuità nelle funzioni con valori assoluti


    Quando si ha una funzione che presenta valori assoluti prima di tutto si riscrive la funzione con l'equivalente definita per intervalli. Le operazioni da effettuare sono quindi le seguenti:


    1. Si riscrive la funzione come funzione definite per intervalli


    2. Si studia la continuità per la funzione definita per intervalli nel seguente modo:


    Nelle funzioni definite per intervalli i punti di discontinuità si cercano tra i seguenti valori:


    1. Si prende ognuna delle espressioni della funzione e si determinano i punti di accumulazione del suo dominio (della singola espressione non della funzione) che appartengono al suo intervallo di competenza


    2. I valori che sono di raccordo tra i vari intervalli di competenza delle singole espressioni



    La trasformazione di una funzione con valori assoluti in una definita per intervalli si effettua nel seguente modo:


    1. Si studia il segno degli argomenti di tutti i valori assoluti che compaiono nella funzione


    2. Dal grafi complessivo degli studi di segno si deduce quanto segue:


      • Se l'argomento del valore assoluto è positivo allora si sostituisce il valore assoluto semplicemente col suo argomento, se invece l'argomento è negativo si sostituisce il valore assoluto col suo argomento cambiato di segno





    Negli esercizi allegati puoi vedere lo svolgimento dello studio sulle seguenti funzioni:

    • [math]f(x) = \frac{|x^2-16|}{x-4}[/math]

    • [math]f(x) = \log \left( \left| \frac{2x-1}{x-4} \right| \right)[/math]

    Estratto del documento

    1

    Punti di discontinuitá della seguente funzione:

    2 16

    x -

    y = 4

    x -

    Funzione equivalente definita per intervalli:

    4 4

    x x x

    + < -4 ∨ >

    f(x) =  4 4

    x

    -x - -4 ≤ <

    Dominio della funzione:

    ]-∞;4[ ⋃ ]4;∞[ 4 4

    oppure x x

    → < ∨ >

    -{4}

    Valori candidati per essere discontinuitá:

    Punti di accumulazione del dominio che non appartengono al dominio:

    x 4

    =

    Valori di raccordo degli intervalli di definizione delle varie espressioni della funzione:

    x x 4

    = -4 =

    Calcolo dei limiti e classificazione delle discontinuitá:

    4 4

    x x x

    + < -4 ∨ >

    4 4

    x lim 0

    x

    -x - -4 ≤ <

    Funzione continua

    =-4 =

    1 x→-4 - Null True

    2

    x -16 0

    lim =

    x-4

    x→-4 +

    f( 0

    -4 ) = 4 4

    x x x

    + < -4 ∨ >

    4 4

    x lim x

    -x - -4 ≤ <

    Discontinuitá di I specie

    =4 = -8

    2 x→4 - Null True

    2

    x -16 8

    lim =

    x-4

    x→4 +

    f( 4 ) =

    Grafico

    * *

    Creato da Roberto Caria per skuola.net

    2 5 2 4

    -4 -2 -5

    Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

    Punti di discontinuitá della seguente funzione:

    2 1

    x -

    log

    y 

    = 4

    x -

    Funzione equivalente definita per intervalli:

    2 1

    log 4

    x-1 x x

     < ∨ >

    2

    x-4

    f(x) = 1-2 1

    log 4

    x x

     < <

    2

    x-4

    Dominio della funzione:

    12 12 ;4[

    ]-∞; [ ⋃ ] ⋃ ]4;∞[ 1 1

    oppure 4 4

    x x

    x ∨ < < ∨ >

    → < 2 2

    12 , 4

    -

    Valori candidati per essere discontinuitá:

    Punti di accumulazione del dominio che non appartengono al dominio:

    1

    x x 4

    = =

    2

    Valori di raccordo degli intervalli di definizione delle varie espressioni della funzione:

    1

    x x 4

    = =

    2

    Calcolo dei limiti e classificazione delle discontinuitá:

    2 1

    log 4

    x-1 x x

     < ∨ >

    2

    x-4

    12

    x lim 1-2 1

    log 4

    x

    Discontinuitá di II specie

    = = -∞

    x

     < <

    1 2

    - x-4

    12

    x→ Null True

    2

    log

    lim x-1  = -∞

    x-4

    +

    12

    x→ 1

    f  =

    2

    Creato da Roberto Caria per skuola.net

    Dettagli
    Publisher
    4 pagine
    41 download