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In particolare devono essere verificate le seguenti 3 condizioni_
[math]c \in D_f[/math](il punto c deve appartenere al dominio di f)
[math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = \lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l[/math](i limiti sinistro e destro devono essere entrambi finiti e coincidere)
[math]f(c)=l[/math](il valore della funzione in c deve coincidere con il limite l)
Se qualcuna delle condizioni precedenti non è verificata allora si dice che c è un punto di discontinuità
Si hanno 3 specie di punti di discontinuità
Discontinuità di I spacie
[math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = l_1[/math]
[math]\lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l_2[/math]
[math]l_1 \neq l_2[/math]
Cioè i limiti sinistro e destro sono entrambi finiti ma diversi tra loro
In questo vaso si definisce il salto della funzione la differenza tra i limiti[math]salto=l_2-l_1[/math]
Discontinuità di II specie
Almeno uno dei due limiti (sinistro o destro) o non esiste o è infinito
Discontinuità di III specie
I due limiti sinistro e destro sono entrambi finiti, coincidono fra di loro ma o la funzione non è definita in c oppure[math]f(c) \neq l[/math]
Nelle funzioni definite per intervalli i punti di discontinuità si cercano tra i seguenti valori:
Si prende ognuna delle espressioni della funzione e si determinano i punti di accumulazione del suo dominio (della singola espressione non della funzione) che appartengono al suo intervallo di competenza
I valori che sono di raccordo tra i vari intervalli di competenza delle singole espressioni
Negli esempi seguenti si hanno le seguenti situazioni:
[math]f(x)=\begin{cases} -x^2-1 & x<=0 \\
2x & x>0
\end{cases}[/math]
In questo caso le singole espressioni hanno come dominio tutto R quindi si studia solamente nell'unico punto di raccordo tra gli intervalli (x=0)
[math]f(x)=\begin{cases} 2 & x<=0 \\
tg(x) & x>0
\end{cases}[/math]
In questo caso la seconda espressione non esiste per[math]x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi[/math]
quindi i punti di discontinuità si studiano per questi valori e in più per il valore di raccordo degli intervalli (x=0)
1
Punti di discontinuitá della seguente funzione:
2 1 0
x
-x - ≤
y = 2 0
x x >
Dominio della funzione:
oppure → ℜ
x∈
∀
Valori candidati per essere discontinuitá:
Valori di raccordo degli intervalli di definizione delle varie espressioni della funzione:
x 0
=
Calcolo dei limiti e classificazione delle discontinuitá:
2 1 0
x
-x - ≤
x lim
Discontinuitá di I specie = -1
=0
1 2 0
x x >
x→0 - 2 1 0
x
-x - ≤ 0
lim =
2 0
x x >
x→0 +
f( 0 ) = -1
Grafico
* * 2
1 0.5 1.0
-1.0 -0.5 -1
-2
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Punti di discontinuitá della seguente funzione:
2 0
x ≤
y = tan(x) 0
x >
Dominio della funzione:
3 3 5 5 7 7 9 9
; ; ; ; ;6
π π π π π π π π π π
[-6 π; [ ⋃ ] [ ⋃ ] [ ⋃ ] [ ⋃ ] [ ⋃ ] π[
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
oppure →
3 3 5 7 9
;6 , , , ,
π π π π π π
π[-
] 2 2 2 2 2 2
3 3 5 5 7 7 9 9
π π π π π π π π π π 6
x x x x x
x ∨ < < ∨ < < ∨ < < ∨ < < ∨ < < π
-6 π ≤ < 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Valori candidati per essere discontinuitá:
Punti di accumulazione del dominio che non appartengono al dominio:
3 5 7 9
π π π π π
x x x x x x 6
= = = = = = π
2 2 2 2 2
Valori di raccordo degli intervalli di definizione delle varie espressioni della funzione:
x 0
=
Calcolo dei limiti e classificazione delle discontinuitá:
2 0
x ≤ 2
x lim
Discontinuitá di I specie =
=0
1 tan(x) 0
x >
x→0 - 2 0
x ≤
lim 0
=
tan(x) 0
x >
x→0 +
f( 0 2
) = 2 0
x ≤
x lim
π Discontinuitá di II specie = ∞
=
2 tan(x) 0
2 x >
-
π
x→ 2 2 0
x ≤
lim = -∞
tan(x) 0
x >
+
π
x→ 2
π
f = ∄
2
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2 2 0
x ≤
3
x lim
π Discontinuitá di II specie = ∞
=
3 tan(x) 0
2 x >
-
3 π
x→ 2 2 0
x ≤
lim = -∞
tan(x) 0
x >
+
3 π
x→ 2
3 π
f = ∄
2 2 0
x ≤
5
x lim
π Discontinuitá di II specie = ∞
=
4 tan(x) 0
2 x >
-
5 π
x→ 2 2 0
x ≤
lim = -∞
tan(x) 0
x >
+
5 π
x→ 2
5 π
f = ∄
2 2 0
x ≤
7
x lim
π Discontinuitá di II specie = ∞
=
5 tan(x) 0
2 x >
-
7 π
x→ 2 2 0
x ≤
lim = -∞
tan(x) 0
x >
+
7 π
x→ 2
7 π
f = ∄
2 2 0
x ≤
9
x lim
π Discontinuitá di II specie = ∞
=
6 tan(x) 0
2 x >
-
9 π
x→ 2 2 0
x ≤
lim = -∞
tan(x) 0
x >
+
9 π
x→ 2
9 π
f = ∄
2
2 0
x ≤ 0
x lim
Funzione continua =
=6 π
7 tan(x) 0
x >
x→6 -
π 2 0
x ≤
lim π
funzione non definitia a destra di 6
=
tan(x) 0
x >
x→6 +
π
f( 6 0
π ) =
Grafico
* *
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