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Punti di discontinuità delle funzioni definite per intervalli scaricato 6 volte
[math]\lim_{x\to c}{f(x)}=f(c)[/math]

In particolare devono essere verificate le seguenti 3 condizioni_
  1. [math]c \in D_f[/math]
    (il punto c deve appartenere al dominio di f)
  2. [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = \lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l[/math]
    (i limiti sinistro e destro devono essere entrambi finiti e coincidere)
  3. [math]f(c)=l[/math]
    (il valore della funzione in c deve coincidere con il limite l)

Se qualcuna delle condizioni precedenti non è verificata allora si dice che c è un punto di discontinuità

Si hanno 3 specie di punti di discontinuità

  1. Discontinuità di I spacie


    [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = l_1[/math]

    [math]\lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l_2[/math]

    [math]l_1 \neq l_2[/math]

    Cioè i limiti sinistro e destro sono entrambi finiti ma diversi tra loro
    In questo vaso si definisce il salto della funzione la differenza tra i limiti
    [math]salto=l_2-l_1[/math]


  2. Discontinuità di II specie
    Almeno uno dei due limiti (sinistro o destro) o non esiste o è infinito

  3. Discontinuità di III specie
    I due limiti sinistro e destro sono entrambi finiti, coincidono fra di loro ma o la funzione non è definita in c oppure
    [math]f(c) \neq l[/math]

Studio delle discontinuità nelle funzioni definite per intervalli
Nelle funzioni definite per intervalli i punti di discontinuità si cercano tra i seguenti valori:
  1. Si prende ognuna delle espressioni della funzione e si determinano i punti di accumulazione del suo dominio (della singola espressione non della funzione) che appartengono al suo intervallo di competenza
  2. I valori che sono di raccordo tra i vari intervalli di competenza delle singole espressioni

Negli esempi seguenti si hanno le seguenti situazioni:
  1. [math]f(x)=\begin{cases} -x^2-1 & x<=0 \\
    2x & x>0
    \end{cases}[/math]

    In questo caso le singole espressioni hanno come dominio tutto R quindi si studia solamente nell'unico punto di raccordo tra gli intervalli (x=0)
  2. [math]f(x)=\begin{cases} 2 & x<=0 \\
    tg(x) & x>0
    \end{cases}[/math]

    In questo caso la seconda espressione non esiste per
    [math]x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi[/math]
    quindi i punti di discontinuità si studiano per questi valori e in più per il valore di raccordo degli intervalli (x=0)
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