Prodotto scalare e ortogonalità

14 Prodotto scalare, ortogonalità

Sia V uno spazio vettoriale sul campo R. Un prodotto scalare p su V è dato assegnando una forma bilineare p con forma quadratica associata definita positiva, ovvero tale per cui q(v) ≥ 0 per ogni v ∈ V e q(v) = 0 se e solo se v = 0.

Assegnato un prodotto scalare p su V si dice che v e w sono ortogonali, e si scrive v ⊥ w, se p(v, w) = 0. Notiamo che è sempre 0 ⊥ v, per ogni v ∈ V.

Se A ⊆ V allora il complemento ortogonale di A, denotato con A^⊥, è definito come l’insieme

A^⊥ = {v ∈ V : p(v, w) = 0 ∀ w ∈ A}.

Il complemento ortogonale è sempre un sottospazio di V; la semplice verifica può essere svolta per esercizio, discende dalle proprietà di linearità del prodotto scalare in quanto forma bilineare.

Mediante il prodotto scalare è possibile definire su V la lunghezza dei vettori ponendo

||v|| = √ q(v)

la quale risulta essere una norma. Inoltre osservando che si ha

|p(v, w)| ≤ ||v|| ||w||

è ben definito anche l’angolo θ tra v e w ponendo

cos θ = p(v, w) / ||v|| ||w||.

Esempio

In Rⁿ il prodotto scalare canonico è dato da

p((x₁, . . . , x_n), (y₁, . . . , y_n)) = ∑_i=1ⁿ x_i y_i.

Osservazione

La nozione di prodotto scalare può essere data anche per spazi vettoriali complessi, ma la definizione è più complicata dal momento che è necessario considerare forme sesquilineari invece che bilineari.

Una forma f : V × V → C si dice sesquilineare se

f (λ₁v₁ + λ₂v₂, w) = λ₁f (v₁, w) + λ₂f (v₂, w)

e f (v, μ₁w₁ + μ₂w₂) = μ̄₁f (v, w₁) + μ̄₂f (v, w₂)

per ogni scelta di v, v₁, v₂, w, w₁, w₂ ∈ V e λ₁, λ₂, μ₁, μ₂ ∈ C, dove μ̄_i denota il coniugato di μ_i.

La simmetria della forma sesquilineare porta alla nozione di forma hermitiana, ovvero di forma sesquilineare tale per cui si abbia

f (v, w) = f (w, v).

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