Prodotto scalare e ortogonalità

14 Prodotto scalare, ortogonalità

Sia V uno spazio vettoriale sul campo Un prodotto scalare p su V è dato as-

R.

segnando una forma bilineare p con forma quadratica associata definita positiva,

≥ ∈

ovvero tale per cui q(v) 0 per ogni v V e q(v) = 0 se e solo se v = 0.

Assegnato un prodotto scalare p su V si dice che v e w sono ortogonali, e si

⊥ ⊥ ∈

scrive v w, se p(v, w) = 0. Notiamo che è sempre 0 v, per ogni v V . Se

⊥

⊆

A V allora il complemento ortogonale di A denotato con A è definito come

l’insieme ⊥ {v ∈ ∀w ∈

A = V : p(v, w) = 0 A}.

Il complemento ortogonale è sempre un sottospazio di V ; la semplice verifica può

essere svolta per esercizio, discende dalle proprietà di linearità del prodotto scalare

in quanto forma bilineare.

Mediante il prodotto scalare è possibile definire in v la lunghezza dei vettori po-

nendo p

||v|| q(v)

=

la quale risulta essere una norma. Inoltre osservando che si ha

|p(v, w)| ≤ 1

||v||||w||

è ben definito anche l’angolo θ tra v e w ponendo

p(v, w) .

cos θ = ||v||||w||

n

In il prodotto scalare canonico è dato da

Esempio. R n

X

p((x , . . . , x ), (y , . . . , y )) = x y .

1 n 1 n i i

i=1

La nozione di prodotto scalare può essere data anche per spazi

Osservazione.

vettoriali complessi, ma la definizione è più complicata dal momento è necessario

× →

considerare forme sesquilineari invece che bilineari. Una forma f : V V si

C

dice sesquilineare se

f (λ v + λ v , w) = λ f (v , w) + λ f (v , w)

1 1 2 2 1 1 2 2

e f (v, µ w + µ w ) = µ̄ f (v, w ) + µ̄ f (v, w )

1 1 2 2 1 1 2 2

∈ ∈

per ogni scelta di v, v , v , w, w , w V e λ , λ , µ , µ dove µ̄ denota il

C,

1 2 1 2 1 2 1 2 i

coniugato di µ . La simmetria della forma sesquilineare porta alla nozione di

i

forma hermitiana, ovvero di forma sesquilineare tale per cui si abbia

f (v, w) = f (w, v).

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