Prodotti notevoli (3)

I prodotti notevoli

I prodotti notevoli in matematica sono un'identità che compaiono spesso nel calcolo letterale, in particolare per effettuare il prodotto di polinomi di forme particolari. Questi prodotti notevoli consentono di svolgere più rapidamente i calcoli rispetto all’applicazione diretta delle regole del calcolo letterale. Abbiamo diversi tipi di prodotti notevoli:

-Il primo tipo di prodotto notevole è della forma (A+B)(A-B)= A²-B². Considerando che A e B sono monomi, il prodotto della somma di A e B per la differenza di A e B è uguale alla differenza tra il quadrato di A e il quadrato di B.

Ecco un esempio.
(9a + 5b)(9a – 5b) = 81 a² -45 ab +45 ab -25 b² = 81 a² - 25 b²
(9a + 5b)(9a – 5b) = 81 a² - 25 b²
Il primo prodotto è risolto con la regola classica del calcolo letterale, invece il secondo con l'utilizzo del prodotto notevole. Come potete vedere il risultato non cambia, anzi col secondo metodo si salta un passaggio.

-il secondo tipo di prodotto notevole si chiama quadrato di un binomio [ (A+B) ² = A² + 2AB + B² ], infatti se A e B sono dei monomi, il quadrato si ottiene facendo il quadrato di A più il doppio prodotto tra A e B il quadrato di B. Ecco un esempio.
(11a – 7b)² = (11a – 7b) (11a – 7b) = 121a² - 77ab -77 ab + 49b² = 121a² -154ab +49b²
(11a – 7b)² = (11a)² +2 (11a)(-7b) + (-7b)²= 121a² -154ab +49b²
Il primo quadrato è risolto con la regola classica del calcolo letterale, invece il secondo con l'utilizzo del prodotto notevole. Come potete vedere il risultato non cambia, anzi col secondo metodo si saltano vari passaggi.

-il terzo tipo di prodotto notevole si chiama quadrato di un trinomio [(A+B+C)²= A²+B²+C²+2AB+2AC+2BC] infatti se A, B e C sono dei monomi, il quadrato del trinomio si ottiene facendo il quadrato di A più il quadrato di B più il quadrato di C più il doppio prodotto tra A e B più il doppio prodotto tra A e C più il doppio prodotto tra B e C. Ecco un esempio.
(2a+5b-7)² = (2a+5b-7) (2a+5b-7)= 4a²+10ab-14a+10ab+25b²-35b-14a-35b+49= 4a²+25b²+49+20ab-28a-70b
(2a+5b-7)² = 4a²+25b²+49+20ab-28a-70b
Il primo quadrato di trinomio è risolto con la regola classica del calcolo letterale, invece il secondo con l'utilizzo del prodotto notevole. Come potete vedere il risultato non cambia, anzi col secondo metodo si saltano vari passaggi.

-il quarto tipo di prodotto notevole si chiama cubo di un binomio [ (A+B)³ = A³ + 3A²B +3AB²+B³ ], infatti se A e B sono dei monomi, il cubo si ottiene facendo il cubo di A più il triplo prodotto tra il quadrato di A e B più il triplo prodotto tra il quadrato di B per A più il cubo di B. Ecco un esempio.
(3a+2)³= (3a+2) (3a+2) (3a+2)= (9a²+6a+6a+4)(3a+2)= (9a²+12a+4)(3a+2)= 27a³+18a²+36a²+24a+12a+8= 27a³+54a²+36a+8
(3a+2)³= 27a³+54a²+36a+8
Il primo cubo di binomio è risolto con la regola classica del calcolo letterale, invece il secondo con l'utilizzo del prodotto notevole. Come potete vedere il risultato non cambia, anzi col secondo metodo si saltano vari passaggi.