Il piede dell'altezza
[math]\bar{CH}[/math]
di un triangolo
[math]ABC[/math]
divide la base
[math]\bar{AB}[/math]
di
[math]49cm[/math]
in due parti tali che
[math]\bar{AH} = 9/(16) \bar{HB} [/math]
.
Calcolare l'area dei due triangoli
[math]ACH[/math]
e
[math]BCH[/math]
sapendo che
[math]\bar{AC}=24cm[/math]
.
Risoluzione
Chiamiamo il segmento
[math]\bar{BH} = x[/math]
e il segmento
[math]\bar{AH} = 9/(16) x[/math]
.
Sapendo che:
[math]\bar{AB} = \bar{BH} = \bar{AH} = 49 cm [/math]
, impostiamo l'equazione:
[math] x + 9/(16) x = 49[/math]
[math] frac(16x + 9x)(16) = frac(784)(16)[/math]
[math] 16x + 9x = 784[/math]
[math] 25x = 784 \to x = frac(784)(25)[/math]
Sostituiamo il valore e troviamo
[math]\bar{AH}[/math]
:
[math]\bar{AH} = 9/(16) \cdot frac(784)(25) = frac(441)(25) [/math]
Consideriamo il triangolo
[math] CAH[/math]
e determiniamo con il teorema di Pitagora l'altezza
[math]\bar{CH}[/math]
.
[math]\bar{CH} = \sqrt{\bar{AC}^2 + \bar{AH}^2} = [/math]
[math]\sqrt{24^2 + (frac(441)(25))^2} = \sqrt(576 + frac(194481)(625)) = [/math]
[math]\sqrt{frac(360000 - 194481)(625)} = \sqrt(frac(165519)(625)) = frac(\sqrt(165519))(25) [/math]
Calcoliamo ora l'area dei due triangoli:
[math] A_(ACH) = frac(\bar{AH} \cdot \bar{CH})(2) = frac(441)(25) \cdot frac(\sqrt{165519})(25) \cdot 1/2 = [/math]
[math] frac(441 \sqrt{165519})(1250) cm^2 [/math]
[math] A_(BCH) = frac(\bar{BH} \cdot \bar{CH})(2) = frac(784)(25) \cdot frac(\sqrt{165519})(25) \cdot 1/2 = [/math]
[math] frac(784 \sqrt{165519})(1250) cm^2 = frac(392 \sqrt{165519})(625) cm^2 [/math]
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