Perché non si può dividere per 0

Questa pagina nasce da una domanda postata nel forum da aleio1: perché non si può dividere per zero? Infatti, alle elementari ti dicono che non puoi dividere per zero e sottrarre ad un numero uno più grande, poi ti insegnano i numeri relativi. Scopri che le radici quadrate si fanno solo dei quadrati perfetti, e poi ti insegnano gli irrazionali, e poi per di più i numeri complessi. Perché l'unico tabù che resta è quello della divisione per zero?
Ho voluto aprire questa pagina per non liquidare la domanda con un laconico "perché no". Allora, intanto vi svelo un segreto: il fatto di non poter dividere per zero non è solamente una proprietà dei numeri, ma è una conseguenza del fatto che i numeri godono della cosiddetta struttura di anello, che ora spiegherò. Mentre le altre generalizzazioni non hanno conseguenze logiche nefaste, permettere la divisione per zero implica che tutti i numeri sono uguali tra loro. Il che è sicuramente controintuitivo, ma possibile in linea di principio. Equivale a dire che esiste un solo numero (ovviamente lo zero), e che dividere zero per zero fa zero dato che zero è l'unico numero. Un insieme così in matematica è detto banale, perché effettivamente non ti serve nemmeno a contare le dita di una mano... Ma andiamo con calma.

Intanto enumeriamo gli assiomi di anello. Queste sono state costruite ad hoc intorno ai numeri interi relativi, in modo da rispettarne le proprietà. Poi si è scoperto che sono tanti altri gli insiemi che soddisfano gli stessi assiomi, e che quindi sono imparentati con gli interi relativi; la matematica campa con queste astrazioni... Ma veniamo al dunque.

Intanto, si dice operazione una legge che associa a due elementi di un insieme uno e un solo elemento dell'insieme stesso (ad esempio, la somma è un operazione: associa ad una coppia di numeri un altro numero). Si dice anello un insieme dotato di due operazioni, una chiamata "+" (somma) e una chiamata "·" (prodotto), i cui elementi godono di queste proprietà:
* associatività della somma: (a + b) + c = a + (b + c)
* associatività del prodotto: (a · b) · c = a · (b · c)
* commutatività della somma: a + b = b + a
* esistenza dello zero: esiste un elemento chiamato "0" tale che a + 0 = 0 + a = a
* esistenza elemento opposto: per ogni a esiste un elemento chiamato "-a" tale che a + (-a) = 0
* proprietà distributiva: (a + b) · c = a · c + b · c

Notiamo che non abbiamo richiesto un sacco di cose. Non ci interessa che il prodotto sia commutativo, ad esempio, e non abbiamo richiesto che esista un numero "1" (cioè un elemento neutro per il prodotto). Dunque è un anello l'insieme Z(+,·) dei numeri interi relativi con addizione e moltiplicazione ordinaria, ma anche, ad esempio, l'insieme dei numeri relativi pari, o delle matrici quadrate ad elementi pari... Con queste semplici ipotesi, dimostriamo che un numero per 0 fa 0.
Intanto dimostriamo la regola dei segni: (-x) · y = -(x · y)
Infatti x · y + (-x) · y + x · y = (x + (-x) + x) · y = (0 + x) · y = x · y
Quindi cancellando a sinistra e a destra x · y otteniamo che (-x) · y + x · y = 0, cioè che (-x) · y è l'elemento opposto di (x · y), cioè -(x · y). Analogamente si ottengono le altre regole.
Ora possiamo dimostrare che un numero per zero fa zero. Infatti:
0 · x = (a + (-a)) · x = a · x + (-a) · x = a · x - (a · x) = 0
Quindi il punto è tutto qui. Anche in un anello, in cui non richiediamo l'esistenza di tutti i quozienti (infatti non esiste numero relativo uguale a ½), la divisione per 0 è inficiata dal fatto che 0 è nullifico per la moltiplicazione. Dividere x per 0 vuol dire trovare quel numero che moltiplicato per x dà 0... Ma questo è possibile solo se x = 0! Dunque x / 0 non ha soluzioni se x ≠ 0.
Un altro modo per vedere la stessa cosa è questo. Dimostriamo che, se accetto la divisione per 0, allora 1 = 2.
Partiamo dall'identità 0 = 0. Siccome qualsiasi numero per 0 fa 0, posso scrivere 1 · 0 = 2 · 0, quindi dividendo entrambi i membri per 0, ottengo 1 = 2!!! Questo risultato può essere letto come "tutti i numeri sono uguali", in particolare uguali a 0. Quindi, in realtà, esiste un insieme in cui si può dividere per 0, ed è... l'insieme formato dal solo 0!!! Infatti in questo meraviglioso insieme succede che:

Questo è molto affascinante... Insiemi così in matematica si chiamano banali (per la serie "grazie al..."), e di solito non servono a nulla; contare fino a zero, infatti, è raramente di qualche utilità...
Tutto ciò serve a spiegare questo fatto, che raramente si legge sui libri di skuola: non è che dividere per 0 è vietato dalla Costituzione o da qualche entità, ma è semplicemente che se accetto la divisione per 0 accetto l'esistenza di un unico numero, e questo serve a poco, dato che dalla matematica (anche se non sembra) vogliamo un aiuto per descrivere la realtà.
Ora voglio chiarire un altro punto: perché si sente spesso che un numero diviso 0 fa infinito? Perché qui si entra in un'altra notazione, quella dell'analisi matematica. Questa disciplina si basa sul concetto di "intorno", ovvero di "vicinanza ad un punto"; dire "divido per 0" in realtà vuol dire "divido per un numero molto piccolo, che si avvicina a 0 quanto voglio ma non è mai 0". In questo caso il risultato è arbitrariamente grande (provare per credere), ma non si divide mai "veramente" per 0. Si usano però delle notazioni che sottointendono questo processo limite di avvicinamento. Si scrive spesso, ad esempio, 1 / 0 = ∞, che sottointende proprio questo.
Spero di essere stato esauriente e almeno un po' chiaro... Ciao a tutti!