Numeri Direttori e Mutue posizioni

Proposizione

Dato un sottospazio Hh di E^n di rappresentazione cartesiana A(x) = (b) (con A ∈ M(n−h)×n e ρ(A) = n − h) ed un punto P ≡ (¯x1, . . . , x¯n), il sottospazio euclideo di dimensione h passante per P e parallelo a Hh ha rappresentazione
cartesiana: A(x − x¯) = (0)

Mutue posizioni di due iperpiani

Proposizione
Dati
π : a1x1 + · · · + anxn + b = 0
π0: a01x1 + · · · + a0nxn + b0 = 0
Avrò:

π = π0 se e soltanto se ρ(C) = 1

π e π0 sono paralleli e disgiunti se e soltanto se ρ(A) = 1 , ρ(C) = 2

π e π0 sono incidenti, in un sottospazio di dimensione n − 2, se e soltanto se ρ(A) = ρ(C) = 2

π e π0 non sono mai sghembi.

Numeri direttori

Definizione
Data una retta r di E^n e fissato un riferimento cartesiano R = (O, B~), si dice n-pla di coefficienti (o numeri o parametri) direttori di r ogni n-pla (l1, . . . , ln) ∈ R^n tali che ~l ≡B~ (l1, . . . , ln) `e un vettore libero non nullo della giacitura di r.
n-ple di numeri direttori di r sono:
-(y1 − x1, . . . , yn − xn) se P ≡ (x1, . . . , xn) e Q ≡ (y1, . . . , yn) sono due punti della retta r ogni soluzione non nulla del sistema omogeneo S0 associato ad una rappresentazione cartesiana di r (S0 `e un sistema lineare omogeneo minimo di n − 1 equazioni in n incognite)
-la n-pla dei coefficienti del parametro in una rappresentazione parametrica di r
-la n-pla dei denominatori di una rappresentazione frazionaria di r