{etRating 4}Nel triangolo isoscele
[math]ABC[/math]
la base [math]BC[/math]
misura [math]2b[/math]
e la misura comune dei lati congruenti [math]AB[/math]
, [math]AC[/math]
è [math]l[/math]
. Si considerino i punti [math]M[/math]
, [math]P[/math]
, [math]Q[/math]
rispettivamente sui lati [math]AB[/math]
, [math]BC[/math]
e [math]CA[/math]
in modo che i segmenti [math]AM[/math]
, [math]BP[/math]
e [math]CQ[/math]
siano congruenti e si determini la loro misura in modo che sia minima l'area del triangolo [math]MPQ[/math]
.
Sia
[math]eta [/math]
l'ampiezza degli angoli alla base e [math] ar(AM)=x[/math]
Risulta che:
[math]\\cos eta=b/L[/math]
,
[math]\\sin eta=1/L \cdot \sqrt{L^2-b^2}[/math]
,
[math]\\sin(\pi-2eta)=\\sin2eta=2\\sineta\\coseta=(2b)/(L^2) \cdot \sqrt{L^2-b^2}[/math]
,
[math]h(\text{altezza relativa a BC})=\sqrt{L^2-b^2}[/math]
Ricordando che l'area di un triangolo si può avere anche con la formula
[math]1/2 \cdot a \cdot b \cdot \\sin (gamma)[/math]
,segue che:
[math]A_s(MPQ)=b\sqrt{L^2-b^2}-1/2 \cdot x \cdot (L-x) \cdot (2b)/(L^2) \cdot \sqrt{L^2-b^2}-1/2 \cdot x \cdot (L-x) \cdot 1/L \cdot \sqrt{L^2-b^2}-1/2 \cdot x \cdot (2b-x) \cdot 1/L \cdot \sqrt(L^2-b^2[/math]
Facendo qualche calcolo l'area di MPQ diventa : (1) [math]A_s(MPQ)=(\sqrt{L^2-b^2})/(2L^2)[2(L+b)x^2-L(L+4b)x+2L^2b][/math]
Prescindendo dalla costante positiva
[math]\sqrt{L^2-b^2}/(2L^2)[/math]
la funzione da minimizzare è :
[math]f(x)=2(L+b)x^2-L(L+4b)x+2L^2b[/math]
con le condizioni (2) [math]0b[/math]
Il grafico di f(x) è una parabola con asse parallelo all'asse y e concava nella direzione positiva di quest'asse e pertanto ,come è ben noto,il minimo si raggiunge nel vertice ovvero per [math]x=-b/(2a)[/math]
Nel caso nostro si ha [math]x=L(L+4b)/(4L+4b)[/math]
Veniamo ora alla discussione sui limiti indicati in (2) La prima condizione è certamente verificata essendo:
[math]L(L+4b)/(4L+4b) Per la seconda deve essere:
[math]L(L+4b)/(4L+4b) da cui
[math]8b^2+4Lb-L^2>0[/math]
che è soddisfatta per: [math]L/4(\sqrt3-1) Possiamo concludere quindi che il problema non ha soluzioni ( a meno che non si consideri P fuori dal lato BC ) per
[math]0 mentre ne ha ovviamente una ( ed una soLa) ) per
[math]L/4(\sqrt3-1)
FINE
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