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Matrici simili

Definizione
Due matrici A, A0 ∈ Mn(K)(matrice simmetrica) si dicono simili e si scrive A ∼ A0 se esiste E ∈ GLn(K) (gruppo lineare) tale che A0 = E^(−1)· A · E
Una matrice si dice diagonalizzabile per similitudine se `e simile ad una matrice diagonale.
Teorema
Due matrici A, A0 ∈ Mn(K)(matrice simmetrica) sono simili se e solo se esiste un endomorfismo T:V^n →V^n e due basi ordinate B e B0 di V^n, tali che A = MB(T) e A0 = MB0 (T).
Osservazione: Se A0 = E^(−1)· A · E, allora la matrice E `e la matrice del
cambiamento di base da B a B0.
Corollario
Matrici simili hanno lo stesso rango.
Definizioni
Data A ∈ Mn(K), si dice matrice caratteristica di A la matrice (t · In − A).
Si dice polinomio caratteristico di A il polinomio (nella indeterminata t): ∆A(t) = determinante (t · In − A).
Proprietà
  • A ∼ A (proprietà riflessiva delle matrici simili)
  • A ∼ A0 =⇒ A0 ∼ A (proprietà simmetrica delle matrici simili)
  • A ∼ A0 e A0 ∼ A00 =⇒ A ∼ A00 (proprietà transitiva delle matrici simili )
  • Matrici simili hanno lo stesso determinante (e lo stesso rango)
  • Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico
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