Equazioni esponenziali e logaritmiche: logsinx+logsin2x=logcosx+1

di Admin-sp-17185

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Si risolva l'equazione

[math]\\log\\sinx+\\log\\sin2x=\\log\\cosx+1[/math]

Il logaritmo è da intendersi in base 2

La prima cosa da fare è definire il dominio.

In particolare, la funzione logaritmo richiede che l'argomento sia positivo

[math]\begin{cases} \\sinx>0 \\ \\sin2x>0 \\ \\cosx>0 \ \end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} 0

Queste tre disequazioni sono soddisfatte contamporaneamente se il valore di

[math]x[/math]

risulta essere

[math]2k\pi

Basta riportare su una retta i risultati delle tre disequazioni, per pervenire al risultato finale.

Quanto all'equazione logaritmica

[math]\\log\\sinx+\\log\\sin2x=\\log\\cosx+1[/math]

Applichiamo la proprietà del logaritmo secondo la quale

[math]\\loga+\\logb=\\log(ab)[/math]

E otteniamo

[math]\\log\\sinx\\sin2x=\\log\\cosx+\\log2[/math]

[math]\\log(\\sinx \cdot \\sin2x)[/math]

=log(2*cosx)

[math] >p> Affin chè i due membri risultino uguali, bisogna che si eguaglino gli argomenti dei due \\logaritmi >/p> >p> [/math]

sinx*sin2x

[math]=2 \cdot \\cosx[/math]

Sviluppando

[math]\\sinx \cdot 2 \cdot \\sinx\\cosx-2\\cosx=0[/math]

Dividendo per

[math]2[/math]

e raccogliendo

[math]\\cosx[/math]

[math]\\cosx(\\sin^2x-1)=0[/math]

Per la legge d'annullamento del prodotto abbiamo

[math]\\cosx=0[/math]

soddisfatta per

[math]x=\pi/2+k\pi[/math]

ma le condizioni imposte non coinvolgono tale valore (d'altra parte nell'equazione iniziale vediamo bene che un argomento è proprio

[math]\\cosx[/math]

che quindi non può annullarsi, in quanto non ha senso

[math]\\log0[/math]

)

L'altro fattore su cui applicare l'annullamento del prodotto è

[math]\\sin^2x-1[/math]

[math]\\sin^2x-1=0[/math]

[math](\\sinx-1)(\\sinx+1)=0[/math]

soddisfatta per

[math]\\sinx=1[/math]

ovvero

[math]x=\pi/2+2k\pi[/math]

Oppure soddisfatta per

[math]\\sinx=-1[/math]

ovvero per

[math]x=3/2\pi+2k\pi[/math]

Si vede bene che nemmeno queste due soluzioni sono accettabili.

L'equazione non ammette soluzioni accettabili.

FINE

Equazioni esponenziali e logaritmiche: logsinx+logsin2x=logcosx+1

Si risolva l'equazione logsinx+logsin2x=logcosx+1 Il logaritmo è da intendersi in base 2 La prima cosa da fare è definire il dominio. In particolare, la funzione logaritmo richiede che l'argomento sia positivo {(sinx>0),(sin2x>0),(c

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