Si risolva
[math]ln(x+1)+ln(x-2)=2ln(x-1)-ln(x^2-1)[/math]
Innanzitutto imponiamo che gli argomenti siano positivi, per l'esistenza del logaritmo
[math]x+1>0[/math]
[math]x-2>0[/math]
[math]x-1>0[/math]
[math]x^2-1>0[/math]
il risultato che soddisfa tutte le precedenti disequazioni è
[math]x>2[/math]
Ricordiamo alcune fondamentali proprietà dei logaritmi
[math]\\log_c(a)+\\log_c(b)=\\log_c(ab)[/math]
[math]\\log_c(a)-\\log_c(b)=\\log_c(a/b)[/math]
[math]n\\loga=\\log(a^n)[/math]
Applicando la prima regola al primo membro, e la terza al primo termine del secondo membro, abbiamo
[math]ln((x+1)(x-2))=ln(x-1)^2-ln(x^2-1)[/math]
applicando la seconda regola al secondo membro
[math]ln((x+1)(x-2))=ln((x-1)^2/(x^2-1))[/math]
a questo punto, affinchè i logaritmi dei due membri siano uguali, anche i loro argomenti devono essere tali.
Pertanto
[math](x+1)(x-2)=(x-1)^2/(x^2-1)[/math]
che dopo qualche conto restituisce
[math]x^3-4x-1=0[/math]
Questa equazione non è risolubile usando il classico Ruffini, poichè non è nullo nè
[math]p(1)[/math]
nè [math]p(-1)[/math]
Ad ogni modo presenta tre soluzioni che riportiamo approssimate
[math]x_1=2,11...[/math]
[math]x_2=-0,25...[/math]
[math]x_3=-1,86...[/math]
Solo
[math]x_1[/math]
è accettabile perchè risulta [math]x_1>2[/math]
FINE
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