Calcolare
[math]\lim_{x \to 0} \frac{\\log_{a}(x + 2) - \\log_{a}(2)}{x}[/math]
al variare di
[math]a > 0[/math]
.
Ricordando le proprietà dei logaritmi, il limite diventa
[math]\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \\log_{a}(\frac{x+2}{2}) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \frac{ln(\frac{x+2}{2})}{ln(a)} =[/math]
[math]= \frac{1}{ln(a)} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} ln(1 + \frac{x}{2}) = \frac{1}{ln(a)} \lim_{x \to 0} ln(1 + \frac{x}{2})^{\frac{1}{x}}[/math]
Ponendo
[math]\frac{x}{2}= t[/math]
si ottiene
[math]\frac{1}{ln(a)} \lim_{t \to 0} ln(1 + t)^{\frac{1}{2t}} = \frac{1}{ln(a)} ln[((1 + t)^{\frac{1}{t}})^{\frac{1}{2}}][/math]
Ricordando il limite notevole
[math]\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e[/math]
si ottiene
[math]\frac{1}{ln(a)} ln[((1 + t)^{\frac{1}{t}})^{\frac{1}{2}}] = \frac{1}{ln(a)} ln(e^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2 ln(a)}[/math]
FINE
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
