Frazioni egiziane: caratteristiche e regole

Frazioni egizie

In questo appunto vengono presentate le frazioni egizie, rappresentazioni numeriche di numeri decimali ottenibili solo attraverso rappresentazioni naturali e particolari valori frazionari. Infatti, gli Egizi come altre popolazioni non avevano un sistema posizionale per le cifre, ma un’associazione simbolica, e non conoscevano (o non utilizzavano) una simbologia per lo zero. Pertanto, nel documento viene introdotto prima il metodo di calcolo (algoritmico) legato alle classiche operazioni con i numeri naturali: poiché la divisione, come noto, non è definibile in tale insieme, viene presentato un metodo di calcolo, spesso approssimato, per svolgere tale operazione attraverso quelle che, appunto, vengono chiamate frazioni egizie. Una volta definite operativamente tali grandezze, vengono presentati degli algoritmi di calcolo per generalizzare, su tali “valori numerici”, le classiche operazioni già introdotte in precedenza. Il documento termina con due curiosità relative a tali frazioni: la rappresentazione “numerica” del simbolo dell’occhio di Horus e il Papiro di Ahmes.

Frazioni egizie

Gli antichi Egiziani conoscevano solo i numeri naturali che venivano rappresentati con un sistema su base decimale basato sulla ripetizione di simboli per l’uno (un’asta verticale), per il dieci (un archetto capovolto), per il cento (un ricciolo a destra o a sinistra), per il mille (un fiore di loto stilizzato), per il diecimila (un dito piegato), per il centomila (un babbuino (quasi un girino) e per il milione (una figura inginocchiata, forse un dio o un faraone). In questo modo i numeri potevano scriversi in qualsiasi ordine in orizzontale e in verticale, anche se era preferito l’ordine da destra verso sinistra. Non era conosciuto lo zero come operatore.

Operazioni di calcolo

Erano conosciuti gli algoritmi dell’addizione e della sottrazione, probabilmente simili ai classici algoritmi euclidei ancora oggi in uso.

Per la moltiplicazione usavano il seguente algoritmo: si costruisca una tabella di due colonne; nella prima riga mettere 1 ed il secondo fattore e le righe successive ottenerle raddoppiando gli elementi della riga precedente finché nella prima colonna si ha un numero minore del primo fattore. Ora scegliere solo le righe i cui elementi della prima colonna, sommati tra loro, danno il primo fattore. Sommando i corrispondenti elementi della seconda colonna si ottiene il prodotto desiderato. Non è difficile riconoscere in questo metodo la conversione in binario del primo fattore.

Ad es. si moltiplichi 41 per 59; si avrà:

• 1 * 59 +
• 2 118
• 4 236
• 8 * 472 +
• 16 944
• 32 * 1888 +
• 2419

Dove 2419 è ottenuto sommando i termini in seconda colonna delle righe 1a, 4a e 6a, i cui corrispondenti in prima colonna sommati danno 41.

La divisione tra due numeri naturali era ottenuta in maniera similare; desiderando dividere D (dividendo) per d (divisore) si costruisce una tabella con due colonne; nella prima riga mettere 1 e d e le righe successive ottenerle raddoppiando gli elementi della riga precedente finché nella seconda colonna si ha un numero minore del dividendo D. Quindi scegliere solo le righe i cui elementi della seconda colonna, sommati tra loro, danno il dividendo o la migliore approssimazione per difetto (S) dello stesso. Sommando i corrispondenti elementi della prima colonna si ottiene il quoziente o la sua parte intera.

Ad es. si divida 554 per 22:

• 1 + 22 *
• 2 44
• 4 88
• 8 + 176 *
• 16 + 352 *
• 25

Il quoziente (ovvero la sua parte intera) è ottenuto sommando gli elementi in prima colonna delle righe

, e , i cui corrispondenti in seconda colonna danno la migliore approssimazione per difetto di 554 (352+176+22=550).

Rimane il problema del resto

.

In certi problemi poteva infatti essere richiesto un risultato esatto o comunque molto preciso. Prima di descrivere come si procedeva per ottenere una migliore precisione, occorre illustrare la rappresentazione delle parti frazionarie.

Rappresentazione frazioni

Per la rappresentazione delle parti frazionarie gli egiziani svilupparono un sistema apparentemente bizzarro; il reciproco

di ogni numero naturale (n) veniva rappresentato con la normale rappresentazione del numero con sovrapposto un ovale ( n ). Per la rappresentazione poi di un generico si ricavava comunque la parte intera (se ) che veniva rappresentata tradizionalmente; rimaneva il problema di rappresentare la parte decimale cioè il numero , con .

Se n = 1, non v’era problema, era sufficiente rappresentare m con sovrapposto l’ovale; altrimenti si doveva ricorrere alla scomposizione di

in addendi che fossero del tipo , ovvero nelle cosiddette frazioni unitarie o, appunto, egiziane:

Osserviamo subito che per ogni

esistono infinite combinazioni di frazioni unitarie in cui può essere scomposto, delle quali la più semplice è quella della somma di n reciproci . Basti pensare all’identità:

.

Ma gli egiziani ne scartarono subito un buon numero dandosi la regola per cui nella scomposizione ogni reciproco non potesse comparire più di una volta; in caso di necessità la coppia

veniva sostituita da una combinazione di reciproci differenti tra loro; per far questo era disponibile una tabella che per ogni k offriva una combinazione di interi tali che fosse uguale alla somma dei reciproci della combinazione. Naturalmente era sufficiente la tabella dei soli numeri dispari giacché per un pari i = 2 j vale:

Infatti il Papiro di Rhind (o papiro di Ahmes) tabella solo i numeri dispari da 3 a 101.

Rimaneva comunque un numero enorme di combinazioni con le quali è possibile rappresentare una quantità decimale, oltre al problema di determinarne almeno una.

Descriviamo allora un metodo per scomporre un qualsiasi numero decimale del tipo n/m (con

) in frazioni unitarie.

Questo metodo, detto anche del resto, fu illustrato da Fibonacci nel 1200 circa nel Suo libro “Liber abaci” e consiste nel trovare la frazione unitaria (cioè il reciproco) che meglio approssima per difetto

, cioè il minor k tra i numeri kj tali che

Se la differenza tra le due frazioni non è una frazione unitaria si applica a questa la stessa regola finché non si ottiene come differenza una frazione unitaria. Che ciò sia sempre possibile lo si può dimostrare, giacché, scelto in tal modo k, la differenza:

sarà tale che

Infatti se fosse

cioè ossia sarebbe .

Quest’ultima relazione è contraddittoria con le scelte fatte giacché, essendo

sarebbe anche quindi cioè ed infine

avremmo quindi un numero (k-1), minore di k, che soddisfa la relazione:

laddove k è stato scelto come il minore dei numeri tali che

Ne deriva che sarà sempre

, si otterrà cioè come resto una frazione che se non unitaria avrà il numeratore minore di quello della frazione precedente.

Si può inoltre dimostrare che con questo metodo si ottiene una scomposizione che soddisfa la regola che si davano gli egiziani di addendi tutti diversi; infatti ad ogni passaggio si ottiene un addendo

; minore (k maggiore) del precedente.

Non è detto poi che questo metodo offra il risultato più conciso, cioè con il minor numero di addendi.

Metodo della riduzione dei conflitti

Consideriamo allora un altro metodo detto della riduzione dei conflitti: si parte dalla osservazione che ogni \frac{n}{m} può sempre essere vista come somma di n addendi uguali a \frac{1}{m}.

Ogni coppia

, se m è pari () viene sostituita da e se m è dispari () viene sostituita dalla coppia di reciproci e la cui somma essendo identicamente uguale a .

In questo modo, al peggio, si dimezzano i “conflitti” cioè i casi di addendi uguali. Si prosegue iterativamente fino ad ottenere addendi tutti diversi.

Tra le molteplici possibilità di decomposizione di una frazione in somma di frazioni unitarie si possono scegliere le più adatte alle successive elaborazioni: ad es. si potrebbe scegliere la più breve cioè quella con il minor numero di addendi, ovvero la più snella, cioè quella con addendi con i denominatori più piccoli, o una combinazione di queste.

Le motivazioni che portarono gli egiziani a questi algoritmi ci sono sconosciute; si possono fare alcune congetture: anzitutto una frazione unitaria

appare immediatamente comprensibile, più che una frazione tradizionale , rappresentando una parte di un intero che sia stato diviso in m parti uguali. Molti quindi si sono sforzati per individuare utilità pratiche di questo tipo di rappresentazione ma è probabile che queste siano frutti casuali non espressamente cercati; una specie di “far di necessità virtù”. Più probabilmente questa rappresentazione è una pesante eredità di scelte iniziali affrettate. In un ambiente arcaico, con approcci estremamente pratici e senza fini speculativi fu messo a punto questo sistema di rappresentazione; si formò quindi uno standard cui necessitava adeguarsi culturalmente e che condizionò tutti i successivi sviluppi.

Talvolta quando ci si accorge di un pesante condizionamento di scelte iniziali sbagliate, può essere utile ricominciare daccapo, con grave rischio di perdita di tutto il lavoro svolto in precedenza, ma spesso con l’opportunità di giungere a risultati più elevati.

Ritorniamo all’algoritmo della divisione. Il metodo canonico per calcoli precisi indicava di continuare la tabella con riferimento alla prima riga ma dimezzando gli elementi finché non si ottenesse in seconda colonna 1 o comunque la precisione desiderata, e comunque probabilmente non si andava oltre il sesto dimezzamento: come altrimenti si può interpretare il mito dell’occhio di Horus? È evidente che questo metodo era pratico quando il divisore era una potenza di 2 o almeno possedeva 2 come fattore un certo numero di volte; ipotesi improbabile! Altrimenti si era costretti a procedere per frazioni.

Ritorniamo all’esempio precedente: si deve dividere 544 per 22:

• 1 + 22*
• 2 44
• 4 88
• 8 + 176*
• 16 + 352*
• 1/2 11
• 1/4 5 1/2
• 1/8 + 2 1/2 1/4*
• 1/16 1 1/4 1/8
• 1/32 + 1/2 1/8 1/16*
• 25 1/8 1/32

Il quoziente ottenuto 25 1/8 1/32 (pari a 25,15625) è un’ottima approssimazione del quoziente esatto 25,1818… .

Altro esempio: dividere 1234 per 56:

• 1 56
• 2 + 112*
• 4 + 224*
• 8 448
• 16 + 896*
• 1/2 28
• 1/4 14
• 1/8 7
• 1/16 3 1/2
• 1/32 + 1 1/2 1/4 *
• 1/64 1/2 1/4 1/8
• 22 1/32

Il quoziente ottenuto 22 1/32 (pari a 22,03125) è un’ottima approssimazione del quoziente esatto 25,035714… .

Era noto anche un algoritmo per moltiplicare numeri con parte frazionaria; l’algoritmo era identico a quello della moltiplicazione ordinaria: per ottenere il raddoppio delle parti frazionarie si ricorreva alle tabelle eliminando all’occorrenza con l’uso delle stesse tabelle i “conflitti”.

Es.: si desideri moltiplicare 25 1/3 1/5 (25.53) per 43:

• 1 * 25 1/3 1/5 +
• 2 * 50 1/2 1/6 1/3 1/15 = 51 1/15 +
• 4 102 1/10 1/30
• 8 * 204 1/5 1/15 +
• 16 408 1/3 1/15 1/10 1/30
• 32 * 816 1/2 1/6 1/3 1/15 1/5 1/15 +
• 43 1096 1/3 1/5 1/15 1/5 1/15 1/2 1/6 1/10 1/30 1/5 1/15 =
• 1097 1/5 1/5 1/5 1/15 1/15 1/15 1/10 1/30 =
• 1097 1/5 1/3 1/15 1/15 1/10 1/30 1/10 1/30 =
• 1097 1/5 1/3 1/10 1/30 1/5 1/15 =
• 1097 1/3 1/15 1/3 1/10 1/30 1/15 =
• 1097 1/2 1/6 1/10 1/30 1/10 1/30 =
• 1097 1/2 1/6 1/5 1/15

Il risultato è 1097 1/2 1/6 1/5 1/15 = 1097,\bar{93}.

I “conflitti” sono stati eliminati utilizzando la tabella del papiro di Ahmes.

Mito dell’occhio di Horus

Il mito dell’occhio di Horus: secondo un’antica leggenda Horus, figlio di Iside e di Osiride, volle vendicare la morte del padre, ucciso dal fratello Seth. Nella lotta Horus perse un occhio le cui parti vennero ritrovate e ricomposte dal dio Toth a meno di una piccola parte.

L’occhio di Horus fu considerato un potente amuleto; al simbolo vennero attribuiti poteri magici con significati diversi nei vari campi del sapere.

In matematica il simbolo fu scomposto in sei parti e ad esse si fecero corrispondere le sei frazioni unitarie più frequenti, quelle corrispondenti agli inversi delle prime sei potenze di 2:

• 1/2 1/4 1/8
• 1/16 1/32 1/64

La somma delle parti differisce dall’unità di 1/64.

Ad ogni parte dell’occhio si fece corrispondere un senso; nell’ordine: il tatto (1/64), il gusto (1/32), l’udito (1/16), il pensiero (1/8), la vista (1/4) e l’olfatto (1/2). La costruzione del simbolo segue una precisa regola. I sensi erano ordinati quindi secondo l’importanza loro attribuita, a seconda cioè dell’energia “utilizzata” per ricevere una particolare sensazione. Tutti i dati ricevuti erano l’alimento della conoscenza.

Il papiro Ahmes

Il papiro Ahmes, o papiro Rhind, è uno dei più importanti reperti archeologici della civiltà egiziana. Fu acquistato in Egitto nel 1858 dall’antiquario scozzese Henry Rhind che si era recato in Egitto per motivi di salute. Dopo la morte dell’antiquario il papiro fu consegnato al British Museum dove tuttora è conservato.

L’analisi del reperto colloca la sua scrittura intorno al 1700 a.C. ed è stato scritto dallo scriba Ahmes, o A’hmose, di cui non si conosce altro che quanto riferisce di sé nel testo. È probabile che fosse più di uno scriba, sebbene affermi di aver solo trascritto un testo precedente di circa cinquant’anni. Il testo probabilmente era destinato all’educazione dei ragazzi ed è una vera guida alla matematica dell’antico Egitto.

Nel testo sono trattati 87 problemi sulle quattro operazioni, sulle aree, sui volumi, ed altro, ma sopra tutti è trattato il problema delle parti decimali, le cosiddette frazioni egiziane, per la cui soluzione è riportata una tabella che fornisce per ogni intero dispari n compreso tra 3 e 101 la scomposizione in frazioni unitarie della frazione 2/n.

Tavola di 2/n del papiro Rhind:

• 3 ⇒ 2 + 6
• 5 ⇒ 3 + 15
• 7 ⇒ 4 + 28
• 9 ⇒ 6 + 18
• 11 ⇒ 6 + 66
• 13 ⇒ 8 + 52 + 104
• 15 ⇒ 10 + 30
• 17 ⇒ 12 + 51 + 68
• 19 ⇒ 12 + 76 + 114
• 21 ⇒ 14 + 42
• 23 ⇒ 12 + 276
• 25 ⇒ 15 + 75
• 27 ⇒ 18 + 54
• 29 ⇒ 24 + 58 + 174 + 232
• 31 ⇒ 20 + 124 + 155
• 33 ⇒ 22 + 66
• 35 ⇒ 30 + 42
• 37 ⇒ 24 + 111 + 296
• 39 ⇒ 26 + 78
• 41 ⇒ 24 + 246 + 328
• 43 ⇒ 42 + 86 + 129 + 301
• 45 ⇒ 30 + 90
• 47 ⇒ 30 + 141 + 470
• 49 ⇒ 28 + 196
• 51 ⇒ 34 + 102
• 53 ⇒ 30 + 318 + 795
• 55 ⇒ 30 + 330
• 57 ⇒ 38 + 114
• 59 ⇒ 36 + 236 + 531
• 61 ⇒ 40 + 244 + 610
• 63 ⇒ 42 + 126
• 65 ⇒ 39 + 195
• 67 ⇒ 40 + 335 + 536
• 69 ⇒ 46 + 138
• 71 ⇒ 40 + 568 + 710
• 73 ⇒ 60 + 219 + 292 + 365
• 75 ⇒ 50 + 150
• 77 ⇒ 44 + 308
• 79 ⇒ 60 + 237 + 316 + 790
• 81 ⇒ 54 + 162
• 83 ⇒ 60 + 332 + 415 + 498
• 85 ⇒ 51 + 255
• 87 ⇒ 58 + 174
• 89 ⇒ 60 + 356 + 534 + 890
• 91 ⇒ 70 + 130
• 93 ⇒ 62 + 186
• 95 ⇒ 60 + 380 + 570
• 97 ⇒ 56 + 679 + 776
• 99 ⇒ 66 + 198
• 101 ⇒ 101 + 202 + 303 + 606

Per ulteriori approfondimenti sulle numerazioni egizie vedi anche qua