Formula, curiosità , giochi tutto in una tabella

Formule, curiosità, giochi matematici

Tutto in una tabella Stefano Borgogni

stfbrg@rocketmail.com

Sunto che raggruppa un‟ampia varietà

Il presente testo presenta e descrive una tabella di dati relativi a formule, giochi e curiosità matematiche.

Si intende mettere a disposizione di tutta la comunità degli appassionati questa tabella, che si può utilizzare come una sorta di prontuario agile e facilmente consultabile.

I dati sono ordinati per argomento e riguardano sia aspetti più specificamente matematici (costanti, numeri interi, calcolo combinatorio, figure geometriche), sia applicazioni legate al campo della matematica ricreativa.

Introduzione

Dopo aver letto nel corso degli anni libri, articoli e documentazione varia su svariati aspetti della matematica, ho pensato di raccogliere in un unico “contenitore” le informazioni che mi sembravano più interessanti, in modo da avere una sorta di prontuario da scorrere all‟occorrenza.

Così, pian piano ha preso forma una tabella che gradualmente è andata ingrandendosi, sia per la quantità delle informazioni presenti, sia per la tipologia degli argomenti trattati.

Ho pensato che, probabilmente, un contributo del genere può interessare anche altri appassionati, di matematica in generale e, in particolare, di tutte le sue innumerevoli applicazioni in giochi, passatempi, curiosità.

Da qui nasce l‟idea di condividerlo con tutta la “comunità matematica” che naviga su Internet, mettendo in rete una parte dei dati che ho raccolto e ordinato nel tempo.

Prima di entrare maggiormente nel dettaglio, vorrei chiarire che il presente lavoro non vuole assolutamente rappresentare l‟ennesima versione di tavole riepilogative che raccolgono le principali formule matematiche, dall‟algebra alla geometria, dai logaritmi alla trigonometria.

Per questo motivo si sono volutamente lasciati da parte i dati più conosciuti, normalmente riportati in tutte le tavole esistenti: non ci saranno, dunque, né il teorema di Pitagora, né la formula per risolvere le equazioni di 2° grado, né quella dell‟apotema dell‟esagono, tanto per fare qualche esempio.

Al contrario, troveranno spazio dati assai meno conosciuti - ma non privi di interesse - relativi a svariati campi matematici, con particolare riferimento a quello della matematica ricreativa.

Un altro criterio di scelta delle informazioni da inserire nella tabella è stato quello di privilegiare dati sufficientemente semplici da poter essere compresi agevolmente anche da persone che - come chi scrive - partono da una buona cultura matematica di base, ma non sono in possesso di conoscenze superiori, né sono in alcun modo degli “addetti ai lavori”.

Per ovvie ragioni di brevità, le descrizioni sono ridotte all‟osso, ma i concetti dovrebbero risultare quasi sempre chiari.

Nei (pochi) casi in cui ci sarebbe bisogno di spiegazioni più dettagliate, la tabella può comunque dare lo spunto per approfondire altrove l‟argomento trattato.

Infine, va aggiunto che la tabella non ha alcuna pretesa di essere esaustiva (e come potrebbe, visti gli innumerevoli campi di applicazione della matematica?), ma è indubbiamente abbastanza ricca e, soprattutto, assai variegata.

Con i pregi e i difetti che una sintesi del genere comporta: c‟è un po‟ di tutto, ma nessun argomento viene sviluppato fino in fondo.

Detto questo, buona lettura a tutti. 1

Argomenti della tabella

Per una maggiore facilità di consultazione, la tabella è stata ordinata in una serie di argomenti, per quanto possibile omogenei, secondo un personale criterio di “praticità” che non parte dalle suddivisioni tradizionali.

Egualmente, i “titoli” di tali argomenti sono stati talora attribuiti al di fuori di una nomenclatura strettamente matematica, con l‟obiettivo di rendere i concetti espressi più chiari e immediati, anche a costo di sacrificare un po‟ di rigore scientifico.

In particolare, la tabella è suddivisa nei punti seguenti.

1 - Costanti matematiche π

Sono qui raccolte alcune curiosità sulle costanti matematiche fondamentali - ad esempio, il o il numero “e” - insieme a informazioni più generali su altre costanti meno conosciute, come la costante di Brun.

2 - Numeri interi

Il punto 2 comprende molti dati diversi sui numeri interi, dall‟elenco di alcune possibili tipologie a una serie di funzioni e teoremi che prendono in considerazione soltanto l‟insieme Z⁺.

Anche in questo caso vengono fornite informazioni pressoché sconosciute al di fuori dell‟ambito degli “addetti ai lavori” (vedi i numeri di Achille o la sorprendente Legge di Benford), insieme a formule notissime, sulle quali - secondo lo spirito di questo documento - ci si sofferma rapidamente, centrando l‟attenzione soltanto su qualche particolarità ritenuta degna di interesse.

3 - Frazioni e numeri non interi

Per questo blocco di dati, il più piccolo dell‟intera tabella, vale un discorso analogo a quello appena fatto: si parla di frazioni, numeri reali e numeri complessi, ma soltanto per metterne in evidenza alcune curiosità.

4 - Serie numeriche

Pur rimanendo nell‟ambito dei numeri interi, si considerano solo alcune serie di numeri con le loro particolarità.

E in qualche caso sarebbe più corretto dire “una sintesi estrema delle loro particolarità”, poiché alcune di queste serie potrebbero da sole dare spunto a interi volumi; basta citare il Triangolo di Pascal (o di Tartaglia) oppure i numeri di Fibonacci.

5 - Numeri figurati

Si prendono in esame i numeri che si ottengono disponendo n oggetti (o, più semplicemente, scrivendo n punti su un foglio) secondo svariate configurazioni geometriche.

Si trattano, ad esempio, i numeri poligonali che hanno origine a partire dalla forma di un poligono regolare, e i numeri stella, rappresentabili con la struttura della dama cinese.

6 - Quadrati e altre figure magiche

Il punto 6 è dedicato al classico tema dei quadrati magici (disposizioni di numeri tali che resta sempre costante la loro somma lungo righe, colonne e diagonali), con alcune possibili varianti, sia nelle regole di calcolo, sia nella forma delle figure “magiche”.

Tra queste varianti è senz‟altro degno di nota il sorprendente esagono magico.

7 - Calcolo combinatorio e probabilità

Questo blocco rappresenta pienamente lo spirito della tabella, in quanto l‟argomento trattato si colloca al confine tra matematica pura e matematica ricreativa.

Insieme ad alcune formule del calcolo combinatorio, sono qui raccolti dati fortemente orientati verso il mondo dei giochi e dei passatempi matematici, tra cui stranezze e paradossi della probabilità come i compleanni coincidenti o il geniale duello triangolare. 2

8 - Figure geometriche

Raccoglie alcune curiosità relative alle figure geometriche, come il semisconosciuto teorema di Napoleone (ideato, pare, dal grande imperatore in persona) o la formula degli ovali.

Si parla per lo più di figure piane, ma non mancano accenni allo spazio tridimensionale, agli spazi n-dimensionali e all‟affascinante universo delle geometrie non-euclidee.

9 - Riempimenti, allineamenti, colorazioni

Anche se i temi trattati hanno avuto una certa rilevanza in vari campi della matematica, questa parte della tabella è prettamente orientata ai giochi matematici.

Un esempio è quello dei polimini, inventati dal matematico britannico Salomon Golomb e resi celebri dagli articoli di Martin Gardner.

Si accenna anche alla colorazione di mappe (il teorema dei quattro colori) e di varie figure geometriche.

10 - Grafi e alberi

In quest‟ultimo blocco della tabella si parla molto brevemente delle strutture matematiche note come alberi e grafi riportando, tra le numerose possibili applicazioni, quella riguardante una soluzione generale del classico problema dell‟attraversamento di un fiume con limitazioni varie (“pastore, lupo e pecora” o “missionari e cannibali”).

Bibliografia

Per realizzare la tabella si sono utilizzati in primo luogo le opere di Martin Gardner, uno dei più grandi divulgatori matematici del ’900 con i suoi articoli sulla rivista “Scientific American”, poi raccolti in numerosi volumi (alcuni disponibili in italiano altri solo in inglese).

Si allega un elenco dei libri di Gardner, sicuramente non completo poiché in tempi diversi gli stessi articoli sono stati variamente assemblati e tradotti.

• Enigmi e giochi matematici n. 1-5, Sansoni
• Ah! Ci sono! Paradossi stimolanti e divertenti, Zanichelli
• Mathematical carnival, Mathematical association of America
• Mathematical magic show, Mathematical association of America
• Mathematical circus