La formula chiusa per la successione di Lucas

La formula chiusa per la successione di Lucas

Francesco Daddi

www.webalice.it/francesco.daddi

Luglio 2011

Lo scopo di queste pagine è quello di dimostrare la formula chiusa per la successione di Lucas

facendo uso dell’algebra lineare e della formula di Binet per i numeri di Fibonacci. L’impostazione

iniziale è analoga a quella che si trova nell’articolo [1].

La successione di Lucas è definita nel seguente modo:

 = 2

L

0



 = 1

L

1

 = + 1

L L L n >

∀

 n n−1 n−2

osserviamo che, per ogni 1, risulta:

k ≥ ( = +

L L L

k+1 k k−1

=

L L

k k

che possiamo riscrivere nel seguente modo:

" # " #" #

1 1

L L

k+1 k

= ;

1 0

L L

k k−1

se poniamo " # " #

1 1

L

k+1

= =

u , A ,

k 1 0

L

k

si ha:

1

L

1

k

2

= = = dove = = (1)

u Au u A u ... u A u u .

⇒ ⇒ ⇒

k k−1 k k−2 k 0 0 2

L

0

Dalla formula (1) risulta, per linearità:

k k k

" # " # " # " # " # " # " # " #

1 1 1 1 1 1 1 1 0

L L

k+1 k+1

= = +2

⇒

1 0 2 1 0 0 1 0 1

L L

k k

quindi, poiché (si noti che con vengono indicati i numeri di Fibonacci)

F

k k

" # " # " #

1 1 1 F

k+1

=

1 0 0 F

k