Dalla relatività ai buchi neri

Luca Rigovacca 5^ BST A.s. 2008/2009

Dalla relatività ai buchi neri

Liceo Scientifico “G. B. Quadri”

Sommario

Introduzione 3

Posizione privilegiata dei sistemi di riferimento inerziali........................................ 3

Equivalenza tra i sistemi di riferimento inerziali: Relatività ristretta......................... 3

Relatività generale 4

Principio di equivalenza................................................................................. 4

Curvatura dello spaziotempo dovuta al campo gravitazionale.................................... 4

Coordinate gaussiane e completa equivalenza tra tutti i sistemi di riferimento .... 6

Redshift gravitazionale.................................................................................... 7

Epistemologia popperiana................................................................................ 7

Esperimenti di controllo sulla relatività generale.................................................... 8

Buchi neri 9

Velocità di fuga maggiore di quella della luce......................................................... 9

Classificazione buchi neri in base alle dimensioni:

• Supermassicci ............................................................................................ 9
• Stellari ........................................................................................................ 9
• Primordiali .................................................................................................. 10

Evaporazione e radiazioni di Hawking ................................................................. 10

Metodi di ricerca ............................................................................................. 11

Cygnus X-1, il primo buco nero individuato ............................................................ 11

Curiosità 12

Conseguenze del redshift gravitazionale in un buco nero ........................................ 12

Buchi neri rotanti: ergosfera e wormhole ............................................................... 13

Bibliografia 14

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Introduzione

Posizione privilegiata dei sistemi di riferimento inerziali

Per descrivere qualsiasi fenomeno fisico, abbiamo bisogno di un sistema di riferimento. Una particolare categoria è quella dei sistemi inerziali, in cui vale il principio di inerzia. Esso afferma che se un corpo non è soggetto a forze fisiche, rimane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. Un sistema non inerziale è quindi un sistema associato ad un’accelerazione in cui appaiono “forze apparenti”. Trovato un sistema inerziale, se ne possono definire infiniti altri purché il moto relativo di ognuno di questi sistemi sia rettilineo uniforme. Se tutti i sistemi di riferimento inerziali hanno moti relativi, ci si può chiedere quale è, fra tutti questi, quello che è in quiete assoluta. Inizialmente si introdusse il concetto di Etere, quale mezzo trasparente, impalpabile e legato alle stelle fisse. Un certo sistema di riferimento, in questo modo, risulta inerziale se si muove di moto rettilineo uniforme rispetto all’etere. Il problema di questa ipotesi era l’impossibilità di dimostrare l’effettiva esistenza di questa misteriosa sostanza. Questa spinosa questione divenne ancora più pressante quando Maxwell completò il suo lavoro, mostrando come il campo elettromagnetico si propaghi come un’onda, ipotizzando l’etere come mezzo oscillante.

Completa equivalenza dei sistemi di riferimento inerziali: relatività ristretta

Nel 1887 il famoso esperimento di Michelson-Morley provò l’assenza di moto relativo tra la Terra e l’etere. Se questo e la Terra fossero stati in moto relativo, infatti, la luce avrebbe dovuto avere velocità diverse nelle varie direzioni: tali variazioni di velocità non vennero mai rilevate. La conseguenza finale è stata quella di eliminare definitivamente l’idea di etere, accettando la propagazione nel vuoto delle radiazioni elettromagnetiche e l’assenza di un sistema di riferimento assoluto. Sulla base di questo esperimento, Einstein enunciò quelli che diverranno i postulati della relatività ristretta:

• Le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
• La velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali, indipendentemente dalla velocità dell’osservatore o dalla velocità della sorgente di luce.

Con queste ipotesi vengono a cadere i concetti di spazio e tempo assoluto. Newton aveva detto: “Il tempo assoluto, vero, matematico, in sé e per sua natura, senza relazione ad alcunché di esterno, scorre uniformemente”.

Questa concezione è ormai superata. Anche la simultaneità e le misure del tempo e delle lunghezze dipendono dall’osservatore e dal suo stato di moto. In questo modello spazio e tempo si mescolano, formando lo spaziotempo.

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Relatività generale

Principio di equivalenza

Il principio di relatività ristretta era però ancora vincolato alla difficile definizione di un sistema di riferimento inerziale. Einstein riuscì a togliere a questa particolare classe di sistemi di riferimento la posizione di privilegio che era stata attribuita loro.

Già Galileo aveva notato che i corpi cadono con uguale accelerazione.

Dalla seconda legge della dinamica sappiamo che F = m a. La legge di gravitazione di Newton afferma che la forza di attrazione esercitata da un corpo di massa M è: F = m H, dove H è l’intensità del campo gravitazionale. Se a parità di H i corpi hanno tutti la stessa accelerazione, significa che m_g/m_i è costante. Scegliendo opportunamente le unità di misura si può fare in modo che tale rapporto valga uno. Attualmente è stato verificato sperimentalmente che la massa inerziale coincide con la massa gravitazionale con un errore di circa 10^-13.

Questo fatto, noto come principio di equivalenza in forma debole, venne esteso da Einstein attraverso un esperimento ideale. Si consideri una navicella spaziale (Einstein usava un ascensore), al cui interno ci sia un laboratorio di fisica attrezzato per poter studiare il comportamento della materia senza poter osservare lo spazio esterno. L’esperimento viene descritto in quattro fasi: nella prima l’astronave viene posta in una regione dello spaziotempo priva di campi gravitazionali (quindi lontana da qualsiasi corpo celeste) e lasciato andare con moto rettilineo uniforme. Il fisico all’interno osserva che i corpi si muovono di moto rettilineo uniforme, non accelerano e galleggiano a mezz’aria essendo in assenza di peso. Nella seconda fase vengono accesi i razzi dell’astronave, accelerandola verso l’alto con accelerazione a. Tutti i corpi all’interno del laboratorio, allora, nel sistema di riferimento del fisico verranno visti accelerare verso il basso con la stessa accelerazione.

Nella terza fase l’astronave viene posta in un campo gravitazionale e lasciata andare in caduta libera. Come abbiamo visto per il principio di equivalenza tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, in particolare ciò vale anche per il fisico e gli oggetti che lo circondano. Gli oggetti pertanto cadranno insieme a lui, dandogli l’impressione di galleggiare a mezz’aria come in assenza di peso. Nella quarta ed ultima fase l’astronave viene tenuta ferma in un campo gravitazionale in cui l’accelerazione di gravità ha lo stesso valore della seconda fase. Anche in questo momento lo scienziato osserverà tutti i corpi venire attirati verso il basso con accelerazione a. Risulta quindi evidente che il fisico all’interno del suo laboratorio non è in grado di distinguere la prima situazione dalla terza, come anche la seconda dalla quarta.

La conseguenza di questo esperimento è riassumibile dicendo che un campo gravitazionale è localmente equivalente ad un sistema di riferimento non inerziale. Bisogna aggiungere localmente perché il campo gravitazionale in punti molto lontani può accelerare i corpi lungo direzioni diverse. Viceversa possiamo dire che un sistema di riferimento inerziale è equivalente ad un sistema in caduta libera in un campo gravitazionale.

Curvatura dello spaziotempo dovuta al campo gravitazionale

Se consideriamo un sistema di riferimento inerziale, un raggio di luce si propaga in linea retta con velocità c. Rispetto ad un riferimento accelerato però, tale raggio verrà visto compiere un percorso curvo. Siccome un moto accelerato corrisponde ad un campo gravitazionale possiamo dire che la luce in un campo gravitazionale non si propaga in linea retta.

Questo fatto apparentemente sembra una contraddizione con la teoria di Maxwell, secondo la quale la luce dovrebbe seguire sempre percorsi rettilinei. Chi ci assicura però che una “retta” nello spazio fisico coincida con la retta della geometria euclidea?

Un segmento di una retta è il più breve cammino tra due punti. Nel caso di una superficie sferica, il cammino più breve che unisce due punti, ovvero il corrispondente di una retta, risulta essere un arco di cerchio massimo. Potremmo quindi pensare che la presenza di un campo gravitazionale incurvi lo spaziotempo a quattro dimensioni. La luce allora, pur continuando a seguire il percorso più breve tra due punti, non compirà più un cammino rigorosamente rettilineo.

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Cerchiamo di vedere come un campo gravitazionale modifichi lo spaziotempo.

Rallentamento del tempo

Consideriamo la seguente situazione:

Per un osservatore inerziale O, esterno alla piattaforma rotante un orologio posto a distanza R dal centro si muove con velocità v = w R e pertanto il suo ritmo risulterà rallentato di un fattore.