Indipendenza e dipendenza lineare

3. Indipendenza e dipendenza lineare

Sia dato uno spazio vettoriale V, e siano dati v₁, …, v_n ∈ V. Si dice che i vettori v₁, …, v_n sono linearmente indipendenti se

λ₁v₁ + ··· + λ_nv_n = 0 ⇒ λ₁ = λ₂ = ··· = λ_n = 0

dove λ₁, …, λ_n ∈ K. Se esistono λ₁, …, λ_n non tutti nulli tali per cui

λ₁v₁ + ··· + λ_nv_n = 0,

allora v₁, …, v_n sono detti linearmente dipendenti. Il motivo di tale dicitura sta nel fatto che se v₁, …, v_n sono linearmente dipendenti

allora esiste v_i ∈ {v₁, …, v_n} tale per cui si abbia

v_i = ∑_{j ≠ i} μ_jv_j

ovvero esiste un vettore tra v₁, …, v_n che si scrive come combinazione lineare degli altri, cioè è linearmente dipendente dagli altri vettori. Si tratta ovviamente di una equivalenza, e dunque:

Teorema

I vettori v₁, …, v_n sono linearmente dipendenti se e solo se esiste v_j ∈ {v₁, …, v_n} che si scrive come combinazione lineare dei restanti vettori v_i.

Esempio

In ℝ² i vettori v₁ = (1, 0) e v₂ = (0, 4) sono linearmente indipendenti dal momento che si ha

0 = λ₁v₁ + λ₂v₂ = (λ₁, 4λ₂) ⇒ λ₁ = 0

λ₂ = 0.

Esempio

In ℝ³ i vettori v₁ = (1, 0, 3) e v₂ = (2, 0, 6) sono linearmente dipendenti; infatti

0 = λ₁v₁ + λ₂v₂ = (λ₁ + 2λ₂, 0, 3λ₁ + 6λ₂)

non necessariamente vale solo se λ₁ = λ₂ = 0 ma, per esempio, anche per λ₁ = −2

e λ₂ = 1. In generale vale tutte le volte che λ₁ + 2λ₂ = 0.

6